Призмато́їд (від грец.prísma, родовий відмінок грец.prísmatos — призма та грец.éidos — вид) — багатогранник, дві грані якого (основи) є багатокутниками з довільною кількістю сторін, що лежать у паралельних площинах, а решта (бокові грані) — трикутники або трапеції, причому у трикутників одна сторона, а у трапецій обидві основи є сторонами основ призматоїда[1].
Призматоїд
Призматоїди, у яких обидві основи є багатокутниками з однаковим числом вершин, а бічні грані є або паралелограмами, або трапеціями, називаються призмоїдами.[2]
Об'єм призматоїда :
де h — висота (відстань між основами) призматоїда,
і — площі верхньої та нижньої основ призматоїда,
— площа перерізу, рівновіддаленого від обох основ.
Ця формула випливає з інтегрування площі перерізу, параллельного основам, по формулі Сімпсона, оскільки ця формула є точною для інтегрування поліномів до 3 степеня, а площа перерізу є щонайбільше квадратичною функцією висоти.
Сімейство призматоїдів містить наступні багатогранники, як часткові випадки:
Піраміда — призматоїд, у якого одна з основ є точкою.
Зрізана піраміда — призматоїд, у якого основи є різні за розміром однаково орієнтовані n-кутники, а бічні грані є трапеціями.
Клин — призматоїд, у якого одна з основ є трапецією, а інша - відрізком прямої, що параленьна до основ цієї трапеції.
Обеліск (зрізаний прямий клин) — призматоїд, нижня і верхня основи якого є прямокутниками, а протилежні бічні грані (рівні рівнобедрені трапеції) - однаково нахилені до основ, але не перетинаються.
Призма — призматоїд, у якого основи однакові, а бокові грані є прямокутниками або паралелограмами.
Скручені призми — багатогранники, отримані з прямих n-кутних призм (основи - правильні n-кутники) шляхом повороту однієї з основ на де-який кут, не рівний
Зірчасті призми.
Антипризма — призматоїд, у якого основи однакові багатокутники, а сторони є трикутниками.
Купол — призматоїд, у якого одна з основ є многокутником із удвічі більшою кількістю сторін, а бокові грані є почергово прямокутниками і трикутниками.
Якщо хоча б одну вершину призматоїда, з якої виходить одне бічне ребро, зрізати площиною так, щоб нова утворена вершина не лежала на протилежній основі, отримаємо багатогранник, що є частинним випадком скутоїдів[en].
В загальному випадку скутоїд не є багатогранником, оскільки не всі його грані можуть бути плоскими.
Вищі розмірності простору
Тетраедрично-кубоктаедричний 4-купол.
Загалом, політоп є призматоїдальним, якщо його вершини лежать в двох паралельних гіперплощинах.
Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. The Mathematical Association of America. p. 85. ISBN 9780883853580.
1 A. Day Bradley, Prismatoid, Prismoid, Generalized Prismoid, The American Math. Monthly,86, (1979), 486-490.
2 G.B. Halsted, Rational Geometry: A textbook for the Science of Space. Based on Hilbert’s Foundations, second edition, John Wiley and Sons, New York, 1907