Призма (математика)

Правильна призма з шестикутною основою

При́зма (дав.-гр. πρίσμα — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней — паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.

Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник — трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник — п'ятикутна (пентапризма) і т. д.

Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні многокутники.

Висота призми — відстань між площинами її основ.

Види призм

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом.

Зрізана трикутна призма

Пряма призма — це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками^[1]. Інші призми називаються похилими.

Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми— { }×{ }×{ }.

Правильна призма — це пряма призма, основою якої є правильний многокутник. Бічні грані правильної призми — рівні прямокутники.

Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним многогранником. Символ Шлефлі такої призми — t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма — це призма з непаралельними основами^[2].

Елементи призми

Назва	Визначення	Позначення на кресленні	Креслення
Основи	Дві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах.	${\displaystyle ABCDE}$, ${\displaystyle KLMNP}$	Призма
Бічні грані	Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом.	${\displaystyle ABLK}$, ${\displaystyle BCML}$, ${\displaystyle CDNM}$, ${\displaystyle DEPN}$, ${\displaystyle EAKP}$
Бічна поверхня	Об'єднання бічних граней.
Повна поверхня	Об'єднання основ і бічної поверхні.
Бічні ребра	Спільні сторони бічних граней.	${\displaystyle AK}$, ${\displaystyle BL}$, ${\displaystyle CM}$, ${\displaystyle DN}$, ${\displaystyle EP}$
Висота	Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.	${\displaystyle KR}$
Діагональ	Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.	${\displaystyle BP}$
Діагональна площина	Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.	${\displaystyle EBP}$
Діагональний переріз	Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат.	${\displaystyle EBLP}$
Перпендикулярний (ортогональний) переріз	Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.

Властивості призми

• Основи призми є рівними многокутниками.
• Бічні грані призми є паралелограмами.
• Бічні ребра призми паралельні і рівні.
• Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:

${\displaystyle V=S\cdot h}$

• Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює

${\displaystyle V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}}$ (тут s — довжина сторони многокутника).

• Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
• Площа бічної поверхні довільної призми ${\displaystyle S=P\cdot l}$, де ${\displaystyle P}$ — периметр перпендикулярного перерізу, ${\displaystyle l}$ — довжина бічного ребра.
• Площа бічної поверхні прямої призми ${\displaystyle S=P\cdot h}$, де ${\displaystyle P}$ — периметр основи призми, ${\displaystyle h}$ — висота призми.
• Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює

${\displaystyle A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.}$

• Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
• Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
• Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
• Двоїстим многогранником прямої призми є біпіраміда.

Діаграми Шлегеля

Трикутна призма

4-кутна призма

5-кутна призма

6-кутна призма

7-кутна призма

8-кутна призма

Симетрія

Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група D_nh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії O_h^[en] порядку 48, що містить три версії D_4h в якості підгруп. Групою обертань^[en] є D_n 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O^[en] порядку 24, що має три версії D₄ в якості підгруп.

Група симетрії D_nh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Об'єм

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

${\displaystyle V=S\cdot h}$

де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

${\displaystyle V={\frac {n}{4}}hs^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}.}$

Площа поверхні

Площа бічної поверхні призми дорівнює ${\displaystyle S=PH}$, де P — периметр основи, H — висота.

Площа поверхні призми дорівнює ${\displaystyle S=2S+PH}$, де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

${\displaystyle A={\frac {n}{2}}S^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nSh.}$

Призматичні многогранники

Призматичний многогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного многогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний многогранник з елементами ${\displaystyle f_{i}}$ (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний (${\displaystyle n+1}$)-вимірний многогранник буде мати ${\displaystyle 2f_{i}+f_{-1}}$ елементів розмірності i (при ${\displaystyle f_{-1}=0}$, ${\displaystyle f_{n}=1}$).

За розмірностями:

• Беремо многокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і ${\displaystyle 2+n}$ гранями.
• Беремо многогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, ${\displaystyle 2e+v}$ ребрами, ${\displaystyle 2f+e}$ гранями і ${\displaystyle 2+f}$ комірками.
• Беремо 4-вимірний многогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, ${\displaystyle 2e+v}$ ребрами, ${\displaystyle 2f+e}$ (2-вимірними) гранями, ${\displaystyle 2c+f}$ комірками ${\displaystyle 2+c}$ гіперкомірками.

Однорідні призматичні многогранники

Правильний n-многогранник, представлений символом Шлефлі {p, q, ..., t}, може утворити однорідний призматичний многогранник розмірності (n + 1), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: {p, q, ..., t}×{}.

За розмірностями:

• Призма з 0-вимірного многогранника — це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.
  • 
• Призма з 1-вимірного многогранника — це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: {}×{} = {4}.
  • Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.
• багатокутна призма — це 3-вимірна призма, отримана з двох многокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного многокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо p = 4, призма стає кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • Приклад: п'ятикутна призма, {5}×{}, два паралельні п'ятикутники пов'язані п'ятьма прямокутними сторонами.
• 4-вимірна призма, отримана з двох многогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного многогранника {p, q} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {p, q}×{}. Якщо многогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • Приклад: додекаедрична призма^[en], {5, 3}×{}, два паралельні додекаедри, сполучені 12 п'ятикутними призмами (сторонами).
• …

Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами^[ru], які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.

Скручена призма і антипризма

Скручена призма — це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут ${\displaystyle {\frac {\pi }{q}}}$ радіан (${\displaystyle {\frac {180}{q}}}$ градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими^[3][4].

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається многогранником Шенхардта^[ru].

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: D_n, [n,2]⁺, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.

Трикутна	Чотирикутні		12-кутна
Многогранник Шенхардта	Скручена квадратна антипризма	Квадратна антипризма	Скручена дванадцятикутна антипризма

Пов'язані многогранники і мозаїки

Родина правильних призм

Многокутник
Мозаїка
Конфігурація	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4^[en]	8.4.4^[ru]	9.4.4	10.4.4	Одинадцятикутна призма|11.4.4	12.4.4^[en]	17.4.4	∞.4.4

Родина опуклих куполів

n	2	3	4	5	6
Назва	{2}	t{2}	{3}	t{3}	{4}	t{4}	{5}	t{5}	{6}	t{6}
Купол	Діагональний купол	Трискатний купол	Чотирискатний купол	П’ятискатний купол^[en]	Шестискатний купол (плоский)
Пов'язані однорідні многогранники	Трикутна призма	Кубооктаедр	Ромбокубооктаедр	Ромбоікосододекаедр	Ромботришестикутна мозаїка^[en]

Симетрії

Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних многогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].

Варіанти симетрії *n32 зрізаних мозаїк: 3.2n.2n
Симетрія *n32 [n,3]	Сферична				Евклідова^[en]	Компактна гіперболічна		Параком- пактна	Некомпактна гіперболічна
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]…	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Зрізані фігури
Конфігурація	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12^[en]	3.14.14^[en]	3.16.16^[en]	3.∞.∞^[en]	3.24 i.24i	3.18 i.18i	3.12 i.12i
Розділені фігури
Конфігурація	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12^[en]	V3.14.14^[en]	V3.16.16	V3.∞.∞

Призми топологічно є частиною послідовності скошених многогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію^[en].

Варіанти симетрії *n42 розширених мозаїк: 3.4.n.4
Симетрія *n32 [n,3]	Сферична				Евклідова	Компактна гіперболічна		Паракомпактна
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]…	*∞32 [∞,3]
Фігура
Конфігурація	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4^[en]	3.4.7.4^[en]	3.4.8.4^[en]	3.4.∞.4^[en]

З'єднання многогранників

Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

З’єднання чотирьох трикутних призм^[en], з’єднання восьми трикутних призм^[en], з’єднання десяти трикутних призм^[en], з’єднання дванадцяти трикутних призм^[en].

Стільники

Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:

• гіроподовжений альтернований кубічний стільник^[en],
• подовжений альтерований кубічний стільник^[en],
• повернутий трикутний призматичний стільник^[ru],
• кирпатий квадратний призматичний стільник^[en],
• трикутний призматичний стільник^[ru],
• трикутно-шестикутний призматичний стільник^[ru],
• зрізаний шестикутний призматичний стільник,
• ромботришестикутний призматичний стільник^[ru],
• кирпатий шестикутний призматичний стільник^[ru],
• подовжений трикутний призматичний стільник^[ru].

Пов'язані многогранники

Трикутна призма є першим многогранником в ряду напівправильних многогранників^[en]. Кожен наступний однорідний многогранник містить в якості вершинної фігури попередній многогранник. Торольд Госсет^[en] ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних многогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −1₂₁.

k21^[en] у просторі розмірністю n
Простір	Скінченний						Евклідів	Гіперболічний
En^[en]	3	4	5	6	7	8	9	10
Група Коксетера	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇^[en]|	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈^+	E₁₀ = T₈ = E₈^++
Діаграма Коксетера
Симетрія^[en]	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Порядок	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Граф							-	-
Позначення	−121	021	121	221^[en]	321^[en]	421^[en]	521	621

Чотиривимірний простір

Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних однорідних 4-вимірних многогранниках^[en], включно з:

тетраедрична призма^[en]	октаедрична призма^[en]	кубооктаедрична призма^[en]	ікосаедрична призма^[en]	ікосододекаедрична призма^[en]	зрізана додекаедрична призма^[en]
ромбоікосі- додекаедрична призма^[en]	ромбокуб- октаедрична призма^[en]	зрізана кубічна призма^[en]	кирпата додекаедрична призма^[en]	n-кутна антипризматична призма^[en]
скошений 5-комірник^[en]	скошено-зрізаний 5-комірник^[en]	обструганий 5-комірник^[en]	струг-зрізаний 5-комірник^[en]	скошений тесеракт^[en]	скошено-зрізаний тесеракт^[en]	обструганий тесеракт^[en]	струг-зрізаний тесеракт^[en]
скошений 24-комірник^[en]	скошено-зрізаний 24-комірник^[en]	обструганий 24-комірник^[en]	струг-зрізаний 24-комірник^[en]	скошений 120-комірник^[en]	скошено-зрізаний 120-комірник^[en]	обструганий 120-комірник^[en]	струг-зрізаний 120-комірник^[en]

Примітки

1. Kern, Bland, 1938, с. 28.
2. Kern, Bland, 1938, с. 81.
3. Gorini, 2003, с. 172.
4. Малюнки скручених призм

Див. також

• Призматоїд
• Антипризма
• Паралелепіпед
• Куб
• Циліндр
• Паралелограм
• Граф призми

Література

• William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
• Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York : Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
• Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

Посилання

• Призма // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 160. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• Weisstein, Eric W. Призма(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
• Nonconvex Prisms and Antiprisms
• Surface Area MATHguide
• Volume MATHguide
• Paper models of prisms and antiprisms Розгортки призм і антипризм
• Paper models of prisms and antiprisms Розгортки, створені системою Stella^[en].
• Stella: Polyhedron Navigator: Програми для створення 3D- и 4D-зображень, наведених на цій сторінці.
• Гордєєва Є. П. Ч. 1 // Нарисна геометрія. Многогранники (правильні, неправильні та зірчасті) : навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл / Є. П. Гордєєва, В. Л. Величко. — Луцьк : ЛДТУ, 2007. — 191 с. — ISBN ISBN 978-966-7667-70-2.