Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Аперіодична мозаїка

Мозаїка Пенроуза є прикладом аперіодичних мозаїк. У будь-якій мозаїці, яку можна отримати з плиток Пенроуза, відсутня трансляційна симетрія

Аперіодична мозаїка — це неперіодичне замощення з додатковою властивістю, що замощення не містить нескінченно великих періодичних шматків. Множина типів плиток (або протоплиток[en]) є набором неперіодичних протоплиток[en], якщо копії цих плиток можуть утворювати тільки аперіодичні мозаїки. Мозаїки Пенроуза[1][2] є найвідомішими прикладами аперіодичних мозаїк.

Аперіодичні мозаїки слугують математичними моделями для квазікристалів, фізичних тіл, відкритих у 1982 році Даном Шехтманом[3], який отримав у 2011 році Нобелівську премію[4]. Однак специфічна локальна структура цих матеріалів залишається погано зрозумілою.

Деякі методи побудови аперіодичних мозаїк відомі.

Визначення та ілюстрація

Розглянемо періодичну мозаїку з одиничних квадратів (вона виглядає як нескінченна міліметрівка). Тепер розділимо один квадрат на два прямокутники. Мозаїка, отримана таким чином, не є періодичною — не існує зсуву, що залишає цю мозаїку незмінною. Ясно, що цей приклад значно менш цікавий, ніж мозаїка Пенроуза. Щоб виключити такі приклади, аперіодична мозаїка визначається як така, що не містить довільно великих періодичних частин.

Мозаїка називається аперіодичною, якщо її оболонка містить тільки аперіодичні мозаїки. Оболонка замощення містить всі перенесення T+x замощення T разом з усіма замощеннями, які можна наблизити перенесенням T. Формально, це замикання множини у локальній топології[5]. В локальної топології (відповідної метриці) дві плитки -близькими, якщо вони однакові в колі радіуса навколо початку координат (можливо, після зсуву однієї з плиток на відстань, меншу від ).

Щоб навести ще простіший приклад, розглянемо одновимірне замощення T прямої, яке виглядає як …aaaaaabaaaaa… де a представляє інтервал одиничної довжини, а b представляє інтервал довжини два. Тоді замощення T складається з нескінченного числа копій a і однієї копії b (скажімо, з центром у точці 0). Тепер всі перенесення T є мозаїками з одним b десь і a в інших місцях. Послідовність мозаїк, у яких b має центр у точках сходиться (в локальній топології) до періодичної мозаїки, що складається тільки з плиток a. Таким чином, T не є аперіодичною мозаїкою, оскільки її замикання містить періодичну мозаїку …aaaaaa….

Для багатьох «хороших» замощень (наприклад, підстановок плиток з кінцевим числом локальних візерунків) виконується твердження: якщо мозаїка не містить періоду і повторюється (тобто кожна плитка зустрічається з однаковою ймовірністю в міру замощення), то вона аперіодична[6][5].

Історія

Перший раз питання про неперіодичні мозаїки постало 1961 року, коли логік Хао Ван[ru] спробував з'ясувати, чи може задача про доміно бути розв'язною, тобто чи існує алгоритм визначення, що заданий кінцевий набір протоплиток замощує площину. Ван знайшов алгоритми перерахування наборів плиток, які не можуть бути вкладені на площину, і наборів плиток, які замощують площину періодично. Тим самим він показав, що такий алгоритм існує, якщо для будь-якого скінченного набору протоплиток, який дозволяє замостити площину, також існує періодичне замощення. В 1964 році Роберт Берґер[en] знайшов аперіодичний набір, тим самим показавши, що завдання замощення, фактично, нерозв'язне[7]. Це була перша така множина, що використовується в його доведенні нерозв'язності, і містила 20 426 плиток Вана. Берґер пізніше скоротив число плиток до 104, а Ганс Лейхлі (Hans Läuchli) знайшов аперіодичний набір із 40 плиток Вана[8]. Навіть менший набір з шести аперіодичних плиток (на базі плиток Вана) виявив Рафаель Робінсон у 1971 році[9]. Роджер Пенроуз знайшов три інших набори в 1973 і 1974 роках, скоротивши число необхідних плиток до двох, а Роберт Амманн[en] виявив кілька інших наборів у 1977 році[8]. У 2010 році Соколаре і Тейлор знайшли набір з двох плиток однакового виду (правильні шестикутники), при цьому одна плитка симетрична інший [10].

Аперіодичні мозаїки Пенроуза можна утворити не тільки аперіодичними наборами протоплиток, а також за допомогою підстановки і методу «виріж-і-спроєктуй». Після виявлення квазікристалів аперіодичні мозаїки починають інтенсивно вивчати фізики і математики. Метод «виріж-і-спроєктуй» Н. Г. де Брейна для мозаїк Пенроуза врешті перетворився на частину теорії множин Меєра[en][11][12]. Нині існує багато літератури про аперіодичні мозаїки[5].

Побудови

Відомо кілька способів побудови аперіодичних мозаїк. Кілька побудов ґрунтуються на нескінченних сімействах аперіодичних наборів плиток [13][14]. Ці знайдені побудови працюють у більшості випадків декількома шляхами, головним чином за допомогою деякого виду аперіодичної ієрархічної структури. Попри це, нерозв'язність задачі доміно забезпечує, що має бути нескінченно багато різних побудов і, фактично, існують аперіодичні набори плиток, для яких не можна довести їхню аперіодичність.

Аперіодичні ієрархічні замощення

Досі не існує формального визначення, що описує, коли мозаїка має ієрархічну структуру. Проте ясно, що підстановка плиток таку структуру має, так само, як і мозаїки Берґера, Кнута, Лейхлі і Робінсона. Як і у випадку терміна «аперіодична мозаїка», термін «аперіодична ієрархічна мозаїка» є зручним скороченням, яке означає щось на зразок «набір плиток, які допускають тільки аперіодичні мозаїки з ієрархічною структурою».

Кожен з цих наборів плиток змушує будь-яку мозаїку з цих плиток мати ієрархічну структуру. (В багатьох наступних прикладах цю структуру можна описати як систему підстановки плиток, як це описано нижче). Ніяка мозаїка з цих наборів плиток не може бути періодичною просто тому, що ніяке паралельне перенесення не може залишити всю ієрархічну структуру незмінною. Розглянемо плитки Робінсона 1971 року:

Плитки Робінсона

Будь-яке замощення цими плитками може тільки дати ієрархію квадратних ґраток — кожен помаранчевий квадрат в кутку більшого квадрата, і так до нескінченності. Будь-яке паралельне перенесення повинне мати меншим від розміру будь-якого квадрата, а тому не може залишити таку мозаїку інваріантною.

Порція замощення плитками Робінсона

Робінсон довів, що ці плитки повинні утворювати структуру індуктивно. Як наслідок, плитки повинні утворювати блоки, які разом представляють збільшені варіанти початкових плиток і так далі. Ця ідея знаходження набору плиток, які можуть складати лише ієрархічні структури, досі використовується для побудови більшості відомих аперіодичних наборів плиток.

Підстановки

Системи підстановки плиток дають багате джерело аперіодичних мозаїк. Кажуть, що набір плиток, який змушує до виникнення структури підстановки, є змушеною структурою підстановки. Наприклад, плитки «стілець», показані нижче, допускають підстановку і фрагмент підстановки плиток показано на малюнку. Ці підстановки плиток обов'язково не є періодичними, але плитка «стілець» не є аперіодичною — легко знайти періодичне замощення цими плитками.

Система підстановки мозаїки для плитки «стілець».

Однак плитки, показані нижче, змушують виникнення структури підстановки плитки «стілець», а тому є аперіодичними[15].

Плитки «Трилобіт» і «Хрест» змушують структуру підстановки плитки «стілець» — вони можуть утворювати тільки мозаїки, в яких підстановка однозначно визначена і, тому, мозаїка є аперіодичною.

Плитки Пенроуза, а незабаром після цього деякі набори плиток Аммана[16] стали першими прикладами, заснованими на вимушених структурах підстановки плиток. Джошуа Соколар[17][18], Роджер Пенроуз [19], Людвіг Данцер[20] і Чайм Гудман-Штраус [15] знайшли кілька додаткових наборів. Шахар Мозес дав першу загальну побудову, показавши, що будь-який добуток одновимірних систем підстановки можна зробити вимушеним шляхом правил підстановки[14]. Чарльз Радін[en] знайшов змушувальні правила для системи підстановки плиток для мозаїки Конвея «вертушка» [21]. У 1998 Гудман-Штраус показав, що локальні правила з'єднання можна знайти для будь-якої структури підстановки плиток, що задовольняє деяким м'яким умовам[13].

Метод виріж-і-спроєктуй

Мозаїки без періодів можна отримати шляхом проєктування багатовимірних структур у простір з меншою розмірністю і за певних умов можуть існувати плитки, які перешкоджають цим структурам мати період, а тому мозаїки будуть аперіодичними. Плитки Пенроуза є першим і найвідомішим прикладом таких плиток, як було відмічено в роботі де Брейна[22]. Існує незакінчений (алгебричний) опис мозаїк «виріж і спроєктуй», які можна зробити вимушеними за допомогою правил з'єднання, хоча відомо багато необхідних і достатніх умов[23].

Деякі мозаїки, отримані методом «виріж і спроєктуй». Січні площини всі паралельні площині, яка визначає мозаїку Пенроуза (четверта мозаїка в третьому ряду). Ці мозаїки належать усі до різних локальних класів ізоморфізмів, тобто вони локально розпізнавані.

Інші техніки

Знайдено лише кілька інших видів побудов. Зокрема, Яркко Карі[ru] дав аперіодичний набір плиток Вана, заснований на добутках на 2 або на 2/3 дійсних чисел, закодованих рядами плиток (кодування пов'язане з послідовностями Штурма[en], отриманими як різниці послідовних елементів послідовності Бітті[en]), з аперіодичністю, головним чином пов'язаною з фактом, що 2n/3m ніколи не дорівнює 1 для будь-якого з додатних цілих чисел n і m[24]. Цей метод пізніше Гудман-Штраус пристосував для отримання строго аперіодичного набору плиток на гіперболічній площині[25]. Шахар Мозес знайшов багато альтернативних побудов аперіодичних наборів плиток, деякі в більш екзотичному оточенні, наприклад у напівпростих групах Лі[26]. Блок і Вайнбергер використовували гомологічні методи для побудови аперіодичних наборів плиток для всіх неаменабельних многовидів[27]. Джошуа Соколар також дав інший спосіб змушення неперіодичності в термінах альтернувальних умов[28]. Це в загальному випадку веде до значно менших наборів плиток, ніж набір, отриманий з підстановок.

Фізика аперіодичних замощень

Аперіодичні мозаїки вважалися суто математичними об'єктами до 1984 року, коли фізик Дан Шехтман оголосив про відкриття різновиду алюмінієво-марганцевого сплаву, який давав чітку дифрактограму з недвозначною п'ятикратною симетрією[3]. Таким чином, ця речовина повинна бути кристалічною субстанцією з ікосоедральною симетрією. В 1975 році Роберт Амманн[en] вже розширив побудова Пенроуза на тривимірний ікосоедральний еквівалент. У таких випадках термін «замощення» набуває сенсу «заповнення простору». Фотонні пристрої зараз будуються як аперіодичні послідовності різних шарів, які аперіодичні в одному напрямку і періодичні у двох інших. Виявилося, що структура квазікристалів Cd-Te складається з атомних шарів, у яких розташування атомів плоске аперіодичне. Іноді енергетичний мінімум або максимум ентропії проявляється саме на таких аперіодичних структурах. Пол Стейнгардт[en] показав, що зчеплені десятикутники Гуммельта дозволяють застосувати принцип екстремуму і тим самим дають зв'язок між математичними неперіодичними мозаїками і структурою квазікристалів[29]. Спостерігалося явище, коли хвилі Фарадея[en] утворювали великі фрагменти аперіодичних мозаїк[30]. Фізика цього відкриття воскресила інтерес до непропорційних структур і частот і з'явилося припущення про зв'язок аперіодичних мозаїк з явищем інтерференції[31].

Плутанина в термінології

Термін аперіодичний використовується в математичній літературі про мозаїки багатьма способами (а також в інших галузях математики, таких як динамічні системи та теорія графів, у зовсім іншому сенсі). Для мозаїк термін аперіодична іноді використовується як синонім неперіодичності. Неперіодична мозаїка — це мозаїка, в якій немає нетривіального паралельного перенесення. Іноді термін використовується, явно чи неявно, для опису мозаїк, утворених аперіодичним набором протоплиток. Часто термін туманно використовувався для опису структур фізичних аперіодичних речовин, а саме, квазікристалів, або чогось неперіодичного з деякого роду глобальним порядком.

Використання слів «мозаїка» або «замощення» також проблематичне, навіть за явного визначення термінів. Наприклад, немає єдиної мозаїки Пенроуза — ромби Пенроуза охоплюють нескінченне число мозаїк (які не розрізняються локально). У технічній літературі зазвичай намагаються уникати цих термінів, але терміни поширені як неформальні.

Див. також

Примітки

  1. Gardner, 1977, с. 111–119.
  2. Gardner, 1988.
  3. а б Schechtman, Blech, Gratias, Cahn, 1984, с. 1951–1953.
  4. Нобелевская премия по химии 2011.
  5. а б в Baake, Grimm, 2013.
  6. Може здатися, що тут є тавтологія, проте відсутність періоду означає, що в цьому варіанті мозаїки періоду немає, а аперіодична мозаїка означає, що не можна за допомогою тих самих плиток створити періодичну мозаїку.
  7. Berger, 1966, с. 1–72.
  8. а б Grünbaum, Shephard, 1986, с. section 11.1.
  9. Robinson, 1971, с. 177–209.
  10. Socolar, Taylor, 2010.
  11. Lagarias, 1996, с. 356–376.
  12. Moody, 1997, с. 403–441.
  13. а б Goodman-Strauss, 1998, с. 181–223.
  14. а б Mozes, 1989, с. 39–186.
  15. а б Goodman-Strauss, 1999, с. 375–384.
  16. Grünbaum, Shephard, 1986.
  17. Senechal, 1995.
  18. Socolar, 1989, с. 10519–51.
  19. Penrose, 1997, с. 467–497.
  20. Nischke, Danzer, 1996, с. 221–236.
  21. Radin, 1994, с. 661–702.
  22. de Bruijn, 1981, с. 39–52, 53–66.
  23. Le, 1997, с. 331–366.
  24. Kari, 1996, с. 259–264.
  25. Goodman-Strauss, 2005, с. 119–132.
  26. Mozes, 1997, с. 603–611.
  27. Block, Weinberger, 1992, с. 907–918.
  28. Socolar, 1990, с. 599–619.
  29. Steinhardt.
  30. Edwards, Fauve, 1993.
  31. Levy, Mercier, 2006, с. 115.

Література

Посилання

Read other articles:

Савка Дабчевич-КучарSavka Dabčević-Kučar хорв. Savka Dabčević-Kučar Савка Дабчевич-КучарSavka Dabčević-Kučar Голова Виконавчої ради Соціалістичної Республіки Хорватії травень 1967 — травень 1969Президент Яков БлажевичПопередник Міка ШпилякНаступник Драгутін Харамія Голова ЦК Союзу комуні

مكتب إحصاءات النقل (بالإنجليزية: Bureau of Transportation Statistics)‏  تفاصيل الوكالة الحكومية البلد الولايات المتحدة  تأسست 1992  المركز واشنطن  الإدارة موقع الويب http://www.rita.dot.gov/bts تعديل مصدري - تعديل   مكتب إحصاءات النقل (بالإنجليزية:Bureau of Transportation Statistics) هو مكتب يتبع وزارة النقل …

Алия Фәрхәт кызы Мостафина Загальна інформаціяНаціональність татаркаГромадянство  РосіяНародження 30 вересня 1994(1994-09-30) (29 років)Єгор'ївськЗріст 162 смВага 48 кгAlma mater Російський державний університет фізичної культури, спорту, молоді та туризмуБатько Farhat MustafindСпортКр

Musée des Amériques - AuchMesse de saint GrégoireInformations généralesOuverture 16 décembre 1793Visiteurs par an 9 500 (2003)12 321 (2004)10 475 (2005)10 950 (2007)[1]Site web Site du Musée des Amériques - AuchCollectionsCollections Beaux-Arts, Arts précolombiens, Archéologie, Arts populairesNombre d'objets 20 000Label Musée de FrancePôle national de référenceBâtimentProtection Inscrit MH (1976)LocalisationPays  FranceRégion historique Gascogne…

English footballer This article is about the footballer born 1967. For the footballer born 1992, see Michael Thomas (footballer, born 1992). For other people, see Michael Thomas. Michael Thomas Thomas playing a charity match for Liverpool in 2008Personal informationFull name Michael Lauriston Thomas[1]Date of birth (1967-08-24) 24 August 1967 (age 56)[1]Place of birth Lambeth,[1] London, EnglandHeight 5 ft 10 in (1.78 m)[2]Position(s) Midfielde…

Para el centro de detención de Estados Unidos, véase Centro de detención de Guantánamo. Para la base estadounidense, véase Base Naval de la Bahía de Guantánamo. GuantánamoCiudad de Guantánamo Municipio y Ciudad Otros nombres: El Guaso GuantánamoLocalización de Guantánamo en Cuba Localización de Guantánamo.Coordenadas 20°08′18″N 75°12′22″O / 20.138333, -75.206111Idioma oficial EspañolEntidad Municipio y Ciudad • País  Cuba • Provincia G…

Kōwa Seki (Takakazu Seki)Kōwa Seki (Takakazu Seki)LahirMaret(?), 1642(?)Edo atau Fujioka, JepangMeninggal5 Desember 1708JepangTempat tinggal JepangKebangsaan Jepang Seki Kōwa (関孝和code: ja is deprecated )atau Seki Takakazu (関孝和code: ja is deprecated , Seki Takakazu) (lahir 1637/1642? – 5 Desember 1708[1]) adalah matematikawan Jepang yang menciptakan sistem notasi aljabar baru dan menyumbangkan kontribusi untuk perkembangan matematika awal Jepang (wasan). Ia juga melakukan…

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Allen AlvaradoLahirAllen AlvaradoPekerjaanaktorTahun aktif2001-sekarang Allen Alvarado (lahir 19 Februari 1996) adalah aktor dari Amerika Serikat. Ia bermain sebagai Lex Martin dalam serial Discovery Kids, Flight 29 Down. Ia juga bermain dalam film …

Federal election results in South Australia 2022 Australian federal election(South Australia) ← 2019 21 May 2022 All 10 South Australian seats in the Australian House of Representativesand 6 seats in the Australian Senate   First party Second party Third party   CA Leader Anthony Albanese Scott Morrison No leader Party Labor Liberal/National coalition Centre Alliance Last election 5 seats 4 seats 1 seat Seats won 6 3 1 Seat change 1 1 Popular vote 378,329…

Australian rules footballer Australian rules footballer Sam Schulz Schulz in August 2015Personal informationFull name Samuel Craig SchulzDate of birth (1992-09-19) 19 September 1992 (age 31)Place of birth Culcairn, New South WalesOriginal team(s) Culcairn (Hume Football League) Murray Bushrangers (TAC Cup)Draft 2010 NSW Zone Selection, Greater Western SydneyHeight 183 cm (6 ft 0 in)Weight 79 kg (174 lb)Position(s) MidfielderPlaying career1Years Club Games (Goal…

First documented patient in the population of an epidemiological investigation Patient zero redirects here. For other uses, see Patient zero (disambiguation). The index case or patient zero is the first documented patient in a disease epidemic within a population,[1] or the first documented patient included in an epidemiological study.[2] It can also refer to the first case of a condition or syndrome (not necessarily contagious) to be described in the medical literature, whether …

Indian churchman and Old Testament scholar BishopP. Victor Premasagar, CSIB. D. (Serampore), M. A. (Cambridge), Ph. D. (St. Andrews)The Right ReverendChurchChurch of South IndiaDioceseMedakElected1983In office1983–1992PredecessorB. G. Prasada RaoSuccessorB. P. SugandharOrdersOrdinationby Frank WhittakerConsecration1983by I. JesudasonRankBishopPersonal detailsBornPeddi Victor Premasagar(1927-10-14)14 October 1927Dudgaon, TelanganaDied1 December 2005(2005-12-01) (aged 78)St. Josep…

Blue Wave-Marikina, also known as Blue Wave at Marquinton, is a mall and office complex in Marikina, Philippines developed by Federal Land, Inc. It sits on a 2 hectares (4.9 acres) site just off the Sumulong Highway, at the northwest corner of the intersection with Mayor Gil Fernando Avenue.[1] 2023 side facade Mall The mall is a three-storey structure.[2] It is located near the Marquinton residences, a medium-rise planned residential community which primarily targets families, i…

2014 live album by Iron ButterflyLive At The Galaxy 1967Live album by Iron ButterflyReleasedMay 27, 2014RecordedJuly 4, 1967GenrePsychedelic rock, acid rockLength52:33LabelPurple Pyramids Records, Cleopatra Records Live At The Galaxy 1967 is a 2014 unofficial live album by American psychedelic rock band Iron Butterfly, recorded on July 4, 1967 at the Galaxy Theater in Los Angeles, California and released as digital download, on digipak CD and deluxe colored 180 gram vinyl LP on the Purpl…

Pussey!Cover of the hardcover collectionDate1995PublisherFantagraphics BooksCreative teamCreatorDaniel ClowesOriginal publicationPublished inEightballIssues1, 3-5, 8-10, 12, 14Date of publicationOctober 1989–October 1994ISBN1-56097-186-X (hardcover)1-56097-183-5 (softcover)ChronologyFollowed byLike a Velvet Glove Cast in Iron Pussey! is a comics serial and graphic novel by Daniel Clowes. It was originally serialized across nine non-consecutive issues of Clowes's altern…

Species of flowering plant Camellia reticulata Conservation status Data Deficient (IUCN 3.1)[1] Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Eudicots Clade: Asterids Order: Ericales Family: Theaceae Genus: Camellia Species: C. reticulata Binomial name Camellia reticulataLindl. Synonyms[2] Camellia albescens H.T.Chang Camellia albosericea H.T.Chang Camellia bailinshanica H.T.Chang, H.S.Liu & G.X.Xiang Camellia bambusifolia…

Dreamcatcher discographyDreamcatcher in 2017Studio albums3Music videos15 (2 as MINX)EPs11 (1 as MINX)Singles15 (2 as MINX)Single albums3 (1 as MINX)Collaborations2Soundtrack appearances1 South Korean girl group Dreamcatcher have released three studio albums, nine extended plays, three single albums and 17 digital singles. Studio albums List of studio albums, with selected details, chart positions, and sales Title Album details Peak chart positions Sales KOR[1] FIN[2] JPN[3 …

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Achmad Nadjamuddin – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR Drs. H. Achmad Nadjamuddin (1 Januari 1936 – 1 September 1998) adalah mantan wali kota Gorontalo tahun 1983-1988. Pada …

2004 studio album by KhaledYa-RayiStudio album by KhaledReleasedAugust 2004 (International) June 27, 2005 (USA)Recorded2004GenreRaïLabelUniversal Records and Wrasse RecordsProducerDon Was, Jacob Desvarieux, Philippe Eidel, K. C. Porter, and Dawn ElderKhaled chronology Kenza(1999) Ya-Rayi(2004) Best of Khaled(2007) US release cover Professional ratingsReview scoresSourceRatingAllmusic [1] Khaled's Ya-Rayi (Arabic: يا رأيي, meaning My opinion) is his fifth studio album that …

American mixed martial arts fighter Darrion CaldwellCaldwell in 2019Born (1987-12-19) December 19, 1987 (age 35)Rahway, New Jersey, U.S.Other namesThe WolfNationalityAmericanHeight5 ft 10 in (1.78 m)Weight145 lb (66 kg; 10.4 st)DivisionBantamweight (2015–2019, 2021–present)Featherweight (2012–2014, 2019–2021)Reach74 in (188 cm)StyleWrestlingFighting out ofRedlands, California, U.S.TeamPinnacle Mixed Martial Arts (formerly) Sanford MMA (2021–…

Kembali kehalaman sebelumnya