Геометричне визначення замкненого лінійного відрізка: перетин усіх точок праворуч від A з усіма точками лівіше від B , включаючи самі точки A і B
Історичне зображення — малювання лінійного відрізка (1699)
Відрізок — частина прямої , обмежена двома точками .
Визначення
Якщо
V
{\displaystyle V\,\!}
векторний простір над
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
або
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, і
L
{\displaystyle L\,\!}
це підмножина
V
,
{\displaystyle V,\,\!}
тоді
L
{\displaystyle L\,\!}
відрізок якщо
L
{\displaystyle L\,\!}
може бути заданий як
L
=
{
u
+
t
v
∣ ∣ -->
t
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}
для деякого вектора
u
,
v
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!}
, в такому випадку вектори
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
та
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {u+v} }
називаються кінцевими точками відрізка
L
.
{\displaystyle L.\,\!}
Іноді нам потрібно розрізняти «відкриті» та «закриті» відрізки. Тоді закритий відрізок визначається як було вказано вище, а відкритий відрізок як підмножина
L
{\displaystyle L\,\!}
, параметризована як
L
=
{
u
+
t
v
∣ ∣ -->
t
∈ ∈ -->
(
0
,
1
)
}
{\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}}
для деяких векторів
u
,
v
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!}
.
Альтернативне визначення таке: Відрізок (замкнутий) це опукла оболонка двох точок.
Відрізок числової прямої
Відрізок числової (координатної) прямої (числовій відрізок , сегмент ) — множина дійсних чисел
x
{\displaystyle x~}
, таких що задовольняють нерівності
a
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
b
{\displaystyle a\leq x\leq b}
, де заздалегідь завдані дійсні числа
a
{\displaystyle a~}
і
b
{\displaystyle b~}
(
a
<
b
)
{\displaystyle (a<b)~}
називаються кінцями відрізка. На противагу до них, інші числа
x
{\displaystyle x~}
, що задовольняють нерівності
a
<
x
<
b
{\displaystyle a<x<b~}
, називаються внутрішніми точками відрізка .
Відрізок зазвичай позначається
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
:
[
a
,
b
]
=
{
x
∈ ∈ -->
R
∣ ∣ -->
a
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
b
}
{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}
.
Відрізок є замкнутим проміжком .
Число
b
− − -->
a
{\displaystyle b-a\,}
називається довжиною числового відрізка
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
.
Стяжна система сегментів
Система сегментів — нескінченна послідовність елементів множини відрізків на числовій прямій
{
[
a
,
b
]
|
a
,
b
∈ ∈ -->
R
∧ ∧ -->
a
<
b
}
{\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}
.
Система сегментів позначається
{
[
a
n
,
b
n
]
}
n
=
1
∞ ∞ -->
{\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}
. Мається на увазі, що кожному натуральному числу
n
{\displaystyle ~n}
зіставлений у відповідність відрізок
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle ~[a_{n},b_{n}]}
.
Система сегментів
{
[
a
n
,
b
n
]
}
n
=
1
∞ ∞ -->
{\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}
називається стяжною , якщо
кожний наступний відрізок міститься в попередньому;
∀ ∀ -->
n
∈ ∈ -->
N
: : -->
[
a
n
+
1
,
b
n
+
1
]
⊆ ⊆ -->
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}
відповідна послідовність довжин відрізків нескінченно мала.
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
(
b
n
− − -->
a
n
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}
В будь-якій стяжній системі сегментів існує єдина точка, що належить всім сегментам системи.
∀ ∀ -->
{
[
a
n
,
b
n
]
}
n
=
1
∞ ∞ -->
∃ ∃ -->
!
c
∈ ∈ -->
R
∀ ∀ -->
n
∈ ∈ -->
N
: : -->
c
∈ ∈ -->
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]}
Цей факт випливає з властивостей монотонної послідовності .
Див. також
Література
Harry F. Davis & Arthur David Snider (1988) Introduction to Vector Analysis, 5th edition, page 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5
Matiur Rahman & Isaac Mulolani (2001) Applied Vector Analysis, pages 9 & 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1
Eutiquio C. Young (1978) Vector and Tensor Analysis, pages 2 & 3, Marcel Dekker ISBN 0-8247-6671-7