Підгрупа
Підгрупою групи G називається підмножина групи , що сама є групою щодо операції, визначеної в .
Підмножина групи є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:
- містить добуток будь-яких двох елементів з ,
- містить разом зі всяким своїм елементом обернений до нього елемент .
У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою.
Еквівалентно є підгрупою, якщо виконується умова:
Приклади
- Підмножина групи , що складається з одного елементу , буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи .
- Сама також є своєю підгрупою.
- Нехай G абелева група елементами якої є
і груповою операцією є додавання за модулем 8. Її таблиця Келі має вигляд:
+
|
0
|
2
|
4
|
6
|
1
|
3
|
5
|
7
|
0
|
0 |
2 |
4 |
6 |
1 |
3 |
5 |
7
|
2
|
2 |
4 |
6 |
0 |
3 |
5 |
7 |
1
|
4
|
4 |
6 |
0 |
2 |
5 |
7 |
1 |
3
|
6
|
6 |
0 |
2 |
4 |
7 |
1 |
3 |
5
|
1
|
1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
4 |
6 |
0
|
3
|
3 |
5 |
7 |
1 |
4 |
6 |
0 |
2
|
5
|
5 |
7 |
1 |
3 |
6 |
0 |
2 |
4
|
7
|
7 |
1 |
3 |
5 |
0 |
2 |
4 |
6
|
Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.
Пов'язані визначення
- Сама група і одинична підгрупа називається невласними підгрупами групи G, всі інші підгрупи H власними.
- Перетин всіх підгруп групи , що містять всі елементи деякої непорожньої множини , називається підгрупою, породженою множиною , і позначається .
- Якщо складається з одного елемента , то називається циклічною підгрупою елемента .
- Якщо група ізоморфна деякій підгрупі групи , то кажуть, що група може бути вкладена в групу .
Властивості
- Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи є підгрупою групи .
- Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп і називається підгрупа, породжена об'єднанням множин .
- Нехай — гомоморфізм груп. Тоді якщо є підгрупою , то є підгрупою . Якщо є підгрупою , то є підгрупою .
- Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.
Див. також
Джерела
Українською
- (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
|
|