Періодична група

Періодична група (торсійна група) (англ. torsion group) — група кожен елемент якої має скінченний порядок. Тобто, ${\displaystyle \forall a\in G\;\exists r\in \mathbb {N} \ :\ a^{r}=e}$. Всі скінченні групи періодичні.

Степінь періодичної групи G — найменше спільне кратне, якщо воно існує, порядків елементів G.

Довільна скінченна група має скінченний степінь і він є дільником |G|.

Найвідомішим питанням теорії періодичних груп є проблема Бернсайда. Загальна проблема Бернсайда запитувала чи скінченнопороджена періодична група є обов'язково скінченною. Негативну відповідь на це питання дали Голод і Шафаревич у 1964 році (див. теорема Голода—Шафаревича).

Приклади

Прикладами періодичних груп є:

• Довільні скінченні групи.
• Адитивна група кільця поліномів над скінченним полем.
• Факторгрупа ${\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,+)}$.
• Група поворотів кола на раціональний кут.

Див. також

• Підгрупа кручення

Джерела

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)