Коло

Коло
Досліджується в	метрична геометрія, планіметрія і Евклідова геометрія
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Характеристика Ейлера	0
Коло у Вікісховищі

Коло

Ко́ло — це геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є сталою величиною і дорівнює радіусу кола. Коло є найпростішою замкненою фігурою.

Простіше визначення: коло — це замкнена крива, всі точки якої рівновіддалені від однієї, яка є центром кола. Частина площини, обмежена колом, — це круг.

Коло також можна визначити як особливий вид еліпса, в якого два фокуси збігаються, а ексцентриситет дорівнює 0, або як двовимірну форму, що охоплює найбільшу площу на одиницю квадрата периметра, якщо використовувати мову варіаційного числення.

Коло з центром у точці ${\displaystyle O}$ і радіусом ${\displaystyle r}$ позначають ${\displaystyle O(r)}$.

Інструментом для побудови кола є циркуль.

Визначення Евкліда

Коло є плоскою фігурою, що обмежено однією лінією, такою, що всі прямі лінії, які можна намалювати з певної точки в середині неї до обмежувальної лінії, є рівними. Обмежувальна лінія називається окружністю, а точка є центром.

— Евклід, Елементи, Книга I

Термінологія

Внутрішню частину кола, тобто геометричне місце точок, віддаль яких до центра кола не перевищує радіус, називають кругом.

Відрізок прямої, що сполучає дві точки кола називається хордою. Найдовша з хорд — діаметр — проходить через центр кола. Діаметр кола дорівнює двом радіусам.

Пряма може не мати з колом спільних точок, мати з колом одну спільну точку (така пряма називається дотичною до кола) або мати з ним дві спільні точки (така пряма називається січною до кола).

Дотична до кола завжди перпендикулярна до його діаметра, один з кінців якого є точкою дотику.

Хорда, січна, дотична, діаметр, радіус.

Дуга, сектор та сегмент

Дві точки на колі розбивають коло на дві дуги. Кут між двома радіусами, проведеними до двох точок на колі, називається центральним. Область круга, обмежена двома радіусами й дугою називається сектором кола. Область круга, обмежена хордою та дугою, називається сегментом.

Історія

Циркуль, зображений у рукописі 13-го століття, де він є символом Божого акту створення світу. Німб також має форму кола.

Круглий монгольський малюнок на шовку

Коло було відомим ще до початку записаної історії. Люди могли спостерігати кола в природі, такі як Місяць, Сонце, коротке стебло рослини, яке крутить вітер і утворює коло на піску. Коло є основою колеса, що стало революційним винаходом, а з пов'язаним з ним зубчастим колесом зробило можливим існування сучасних механічних машин. У математиці вивчення кола допомогло розвитку геометрії, астрономії і числення.

Ранній розвиток науки, зокрема геометрії, астрології та астрономії, пов'язували з божественним для середньовічних вчених, більшість з яких вірила, що існує щось «божественне» або «досконале», яке можна знайти, вивчаючи коло.^[1][2]

Деякі важливі та цікаві моменти з історії кола:

• 1700 до н. е. — Папірус Рінда описує метод обчислення площі круглого поля. Результат відповідає такому значенню 256/81 (3.16049…), що дає наближене значення числа π^[3]
• 300 до н. е. — Книга 3 із Начал Евкліда (Елементи) присвячена властивостям кола.
• У Сьомому листі^[en] Платона подано детальне визначення і пояснення кола. Платон пояснює, що таке ідеальне коло і чим воно відрізняється від будь-якого малюнка, слів, визначень або пояснень.
• 1880 н. е. — Ліндеман довів, що π є трансцендентним числом, що дало остаточну відповідь на задачу тисячоліття про квадратуру круга.^[4]

Означення кола

Алгебраїчне означення

Коло з радіусом r = 1, і з центром в координатах (a, b) = (1.2, −0.5)

Коло радіуса ${\displaystyle r}$ на площині з декартовою системою координат ${\displaystyle Oxy}$ описується рівнянням:

${\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2},}$

де r — радіус кола, точка (a, b) — центр кола.

Це рівняння випливає з теореми Піфагора при її застосовувані до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус є гіпотенузою прямокутного трикутника, катети якого ${\displaystyle x-a}$ та ${\displaystyle y-b}$.

Рівняння кола з радіусом ${\displaystyle r}$ і центром в початку координат має вигляд: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ }$

Загальне рівняння кола:

${\displaystyle Ax^{2}+Ay^{2}+Dx+Ey+F=0\!}$

Якщо відомі координати трьох точок на площині ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),}$ ${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$ і ${\displaystyle \left(x_{3},y_{3}\right)}$, то рівняння кола, яке проходить через ці точки, можна записати через визначник:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Параметричне означення

Коло радіуса ${\displaystyle r}$ на площині в декартовій системі координат ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ описується системою рівнянь:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccl}x&=&a+r\,\cos t\\y&=&b+r\,\sin t\end{array}}\right.,}$

де параметр ${\displaystyle t}$ — пробігає значення від ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 2\pi }$. З геометричної точки зору — це кут до осі ${\displaystyle x}$ променя, проведеного з початку координат до точки ${\displaystyle (x,y)}$. Якщо записати ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ через параметр ${\displaystyle t}$, що пробігає множину ${\displaystyle \mathbb {R} }$ всіх дійсних чисел, отримаємо:

${\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

Полярні координати

Рівняння кола в полярних координатах:

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,}$

де ${\displaystyle a}$ — радіус кола, ${\displaystyle r_{0}}$ — відстань від початку координат до центра кола та ${\displaystyle \phi }$ — кут, відкладений проти годинникової стрілки від додатної осі ${\displaystyle x}$ до лінії, що з'єднує початок координат з центром кола. Для кола, центр якого розташований в початку координат ${\displaystyle r_{0}=0}$, це рівняння спрощується до вигляду ${\displaystyle r=a}$. Якщо ${\displaystyle r_{0}=a}$ або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуємо рівняння:

${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi )}$.

В загальному випадку, рівняння можна розв'язати для r:

${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}}$,

Розв'язок зі знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

Комплексна площина

Рівняння кола на комплексній площині:

${\displaystyle \left|z-z_{0}\right|=R\,}$, де ${\displaystyle z_{0}}$ — центр кола з радіусом ${\displaystyle R}$,

або в параметричному вигляді

${\displaystyle z=z_{0}+Re^{it},\,t\in \mathbb {R} .\,}$

Означення Аполлонія

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}={\textrm {const}}}$

Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками.

Властивості

• Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і до того ж тільки одне.
• Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.
• Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих певної довжини коло обмежує область максимальної площі.
• Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 °.
  • Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
  • Вписаний кут, що спирається на діаметр кола, дорівнює 90°.
• Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом, дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.
• Кут між хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті, і дуги навпроти неї.
• Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
• Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
• При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків, на які ділиться інша.
• Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині степені точки відносно кола.
  • Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.

Довжина кола і площа круга

Довжину дуги кола з радіусом ${\displaystyle R}$, утвореного центральним кутом ${\displaystyle \varphi }$, виміряним у радіанах, можна обчислити за формулою

${\displaystyle L=\varphi R}$.

Довжину кола з радіусом ${\displaystyle R}$ можна обчислити за формулою

${\displaystyle \ C=2\pi R}$,

де ${\displaystyle \pi }$ — число пі, яке визначається як відношення довжини кола до його діаметра.

Площа обмеженого колом круга дорівнює

${\displaystyle S=\pi R^{2}=\pi {\frac {D^{2}}{4}}}$,

де ${\displaystyle D=2R}$ — діаметр.

Упродовж багатьох століть математиків цікавила задача про квадратуру круга: побудову за допомогою лінійки та циркуля квадрата з площею, що дорівнювала б площі круга. Ця задача не має розв'язку, оскільки число пі трансцендентне, що довів у 1882 Фердинанд фон Ліндеман.

Коло як конічний переріз

Коло є простою плоскою кривою другого порядку і класифікується як один із видів конічного перетину. У вужчому сенсі коло — окремий випадком еліпса, тобто еліпс з однаковими півосями, або іншими словами, коло є еліпсом з нульовим ексцентриситетом.

Дотичні і нормалі

Рівняння дотичної до кола в точці ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ визначається рівнянням

${\displaystyle \left({\frac {A}{2}}+x_{1}\right)x+\left({\frac {B}{2}}+y_{1}\right)y+\left({\frac {A}{2}}x_{1}+{\frac {B}{2}}y_{1}+C\right)=0}$,

де A, B і С — коефіцієнти в загальному рівнянні кола.

Рівняння нормалі в цій же точці можна записати як

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{2x_{1}+A}}={\frac {y-y_{1}}{2y_{1}+B}}.\,}$

Див. також

• Круг
• Криві другого порядку
• Полярне коло
• Гіперцикл (геометрія)
• Коловий граф

Примітки

1. Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959) (англ.)
2. Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato [Архівовано 2017-01-23 у Wayback Machine.] Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, «Of Plato» (англ.)
3. Chronology for 30000 BC to 500 BC [Архівовано 2008-03-22 у Wayback Machine.]. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.
4. Squaring the circle [Архівовано 2008-06-24 у Wayback Machine.]. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.

Посилання

• Коло // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 109. — 594 с.

• Коло (PlanetMath.org вебсайт)
• Weisstein, Eric W. Circle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Інтерактивні Java додатки [Архівовано 6 червня 2017 у Wayback Machine.] для ілюстрації властивостей та елементарних побудов із колами.
• Коло [Архівовано 17 березня 2019 у Wayback Machine.] на сайті cut-the-knot
• FIZMA.neT [Архівовано 15 травня 2021 у Wayback Machine.] — Математика онлайн (Коло та його елементи)
• Що Таке Коло: Огляд і Практичні Застосування (mathros.net.ua)