Круг

Круг

Круг^[1], кружа́ло^[2] або диск (від лат. discus, що походить від грец. δίσκος — «тарілка») — геометрична фігура, обмежена колом. Іншими словами, круг — це множина, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки (центр круга) не перевищує заданої відстані (радіуса). Коло є межею круга.

Круг називається замкненим або відкритим в залежності від того чи містить він коло, яке його обмежує. В декартових координатах, відкритий круг з центром ${\displaystyle (a,b)}$ та радіусу R задається формулою

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

Закритий круг задається нестрогою нерівністю

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leqslant R^{2}\}.}$

Куля є узагальненням поняття круга на метричний простір.

Інколи замість терміну круг використовують термін диск.

Термінологія

Центр, радіус, хорда і діаметр кола є центром, радіусом, хордою та діаметром відповідного круга.

Площею круга називається площа фігури обмеженої колом. Площа круга обчислюється за формулою:

${\displaystyle S=\pi r^{2}\ }$, де ${\displaystyle \pi \approx 3{,}141592654}$ — константа.

Периметром круга називають довжину кола, що його обмежує:

${\displaystyle L=2\pi r.}$

Властивості

• Круг — центрально-симетрична фігура.
• При обертанні площини відносно центра круг переходить сам у себе.
• Круг є опуклою фігурою.
• Площа сектора дорівнює ${\displaystyle S={\frac {\alpha R^{2}}{2}}}$, де ${\displaystyle \alpha }$ — кутова величина дуги в радіанах, R — радіус.
• (Ізопериметрична нерівність) Круг є фігурою, що має найбільшу площу при заданому периметрі. Або, що те ж саме, що має найменший периметр при заданій площі.
• Площу круга можна визначити, як границю послідовності площ правильних багатокутників, вписаних у відповідне коло, коли довжини сторін наближаються до нуля.

Круг в метричному просторі

Поняття кола дослівно узагальнюється на випадок довільних метричних просторів. На відміну від випадку евклідових просторів, при довільних метриках круги метричного простору можуть бути дуже химерно влаштовані — зокрема, у разі дискретної метрики можна побудувати приклад, коли відкритий та замкнений круги певного радіуса збігаються. Однак деякі властивості все ж зберігаються, а саме: опуклість та наявність центральної симетрії.

Наприклад, якщо розглянути вуличну метрику, яка на евклідовій площині задається співвідношенням:

${\displaystyle \rho ((x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$,

то одиничним колом з центром в початку координат ${\displaystyle (0,0)}$ буде квадрат з вершинами ${\displaystyle (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}$.

В цій метриці, формула круга з центром в ${\displaystyle (0,0)}$ радіусу R буде наступна:

${\displaystyle \rho ((0,0);(x,y))=|x|+|y|<R.}$

Див. також

• Коло
• Куля
• Число пі

Примітки

1. Круг // Словник української мови : в 11 т. — Київ : Наукова думка, 1970—1980. С. 367.
2. Кружало // Словник української мови : у 20 т. — К. : Наукова думка, 2010—2022.