イブン・スィーナー(アウィケンナ、アヴィセンナ、980年–1037年)はアヴィセンナ論理学の創始者である。アヴィセンナ論理学はイスラーム世界の論理学における主導的な体系としての地位をアリストテレス論理学から奪い[43]、さらにアルベルトゥス・マグヌスのような中世西欧の著述家に甚大な影響を与えた[44]。イブン・スィーナーは仮言三段論法[45]および命題論理に関する著作を残しているが、どちらもストア派論理学の領域である[46]。彼は「時相的に様相化された」三段論法という独自理論を発展させ[41]、科学的方法に対して批判的な、一致法、差異法、共変法といった帰納論理を利用した[45]。イブン・スィーナーの概念のひとつは西欧の論理学者オッカムのウィリアムに特に重大な影響を及ぼした。意味あるいは観念を指すイブン・スィーナー用語「マッナ」はスコラ論理学者によって「インテンティオ」(羅: intentio)とラテン語訳された。中世の論理学・認識論において、この術語は本来は物に対応する心の中の表徴である[47]。これはオッカムの概念論の発展にとって決定的なことであった。普遍的な名辞(例えば「人間」)は実在するあるものを表すのではなく、むしろ実在する多数のものに対応する心の中の表徴(羅:intentio in intellectu)を表す。オッカムはこの見解を支持するためにイブン・スィーナーの「『形而上学』註解」Vを引用している[48]
推断 (羅: consequentia) の理論。推断は仮定的・条件的な命題、つまり二つの命題が「もし...ならば~」という形でつながった命題である。例えば「人間が走るなら神は存在する」(羅: Si homo currit, Deus est)[67]。オッカムのウィリアムの『論理学大全』で推断の理論の完全に発達した姿がみられる。そこでオッカムは「質量的な」推断と「形式的な」推断とを区別しているが、これは大まかに言ってそれぞれ現代の論理包含と論理的示唆と同等である。同様の説明がヨハネス・ブリダヌスおよびサクソニアのアルベルトゥスによってもなされている。
伝統的論理学は一般的にはアントワーヌ・アルノーとピエール・ニコルの『論理学、あるいは思考の技法』、通称『ポール・ロワイヤル論理学』に始まる教科書の伝統である[68]。『ポール・ロワイヤル論理学』は1662年に出版され、19世紀までの間イングランドで最も影響力の大きい論理学書となった[69]。本書はアリストテレス及び中世の名辞論理学の枠組みの中にデカルトの教説(例えば、命題は名辞よりむしろ観念の結合である、等)を大まかに表している。1664年から1700年までの間に八刷を重ね、それ以降の時期にも顕著な影響を及ぼした[69]。ジョン・ロックが『人間悟性論』で与えた命題の説明は根本的には『ポール・ロワイヤル論理学』のものと同じである: 「音声的な命題、つまり言葉[は]、我々の持つ観念の表徴[であり]、肯定文あるいは否定文を構成したり分離したりする。そのため命題は肯定あるいは否定を意味するものに従って、こういった表徴を構成したり分離したりすることのうちにある。」 (Locke, An Essay Concerning Human Understanding, IV. 5. 6)
教科書の伝統に属する他の作品としてアイザック・ウォッツの『論理学: あるいは理性の正しい使い方』(英: Logick: Or, the Right Use of Reason、1725年)、リチャード・ウェイトリーの『論理学』(英:Logic、1826年)、ジョン・スチュアート・ミルの『論理学体系』(1843年)がある。『論理学体系』はこの流れにおける最後の主要作品の一つであるが、論理学の基礎は内観にあるというミルの思想[71]は、論理学は心理学の一分野としてみると最もよく理解できるという、特にドイツでのその後50年の論理学の発展を支配することになる思想・アプローチに影響した[72]。
ヘーゲルの『論理学』は主流派の論理学研究にほとんど影響を及ぼさなかったが、そこからの影響をみることができる作品としてカール・フォン・プラントルの『西洋論理学史』(独: Geschichte der Logik in Abendland、1855年-1867年)[73]やイギリス観念論者の作品-例えばフランシス・ハーバート・ブラッドリーの『論理学の諸原理』(英:Principles of Logic、1883年)-、そしてカール・マルクスおよびマルクス主義諸学派の経済学、政治学、哲学等の研究といったものがある。
ジェルゴンヌ(1816年)は、推論はそれに対して完全に明確な観念を持っているところの対象に関するものである必要はない、というのは代数的な操作はそこで使われた記号の意味の観念を有さずとも実行できるからだと述べた[92]。ボルツァーノは変数の用語において論理的帰結つまり「演繹可能性」の定義を行う際に現代の証明論の基本的な観念を予想した: i, j, ...という変数があるとき、命題の集合a, b, c ...が真になるような任意の値をi, j, ...に代入したとき同時に命題n, o, p ...も真になるならn, o, p ...は a, b, c ... から演繹できる[93]。これは今日では意味論的妥当性として知られている。
代数の時代
現代論理学は、ブールを起源としパース、ジェヴォンズ、シュレーダー、ジョン・ヴェンを含むいわゆる「代数学派」に始まる[94]。彼らの目的はクラス、命題、確率の領域で推論を形式的に表せるように計算を発達させることであった。この学派は、1847年に発表されとても強い影響力を及ぼしたブールの作品『論理学の数学的分析』(英:Mathematical Analysis of Logic)とともに始まったが、ごく近い先駆者としてド・モルガン(1847年)がある[95]。ブールの体系の基本的な発想は、代数学数式は論理的関係を表すのに使えるというものであった。ブールはこれを10台の頃に思いつき、リンカンの私学校時代に露払いとして用いた[96]。例えば、xとyにクラスを表させ、=にクラスが同じ成員を持つことを表させ、xyにxとyの全ての成員を、そしてxとyの成員だけを表させ、等々。ブールはこれらを「選択記号」すなわち考察するためにある対象を選択する記号、と呼んだ[97]。選択的記号が用いられた表現は「選択函数」と呼ばれ、選択的函数を含む方程式は「選択方程式」である[98]。選択函数の理論と選択函数の「発展」は、真理函数とその加法標準形による表現という本質的に現代的な観念である[97]。
『記号論理学』(英:Symbolic Logic、1881年)において、ジョン・ヴェンは命題のクラスと真理値のBoolean relationを記述する上で領域の重なる図式を用いた。1869年にジェヴォンズはブールの方法が機械的に進められることを示し、「論理機械」を組み立てて翌年に王立協会に提出した[97]。1885年にアラン・マーカンドが論理機械の電動版を作成しており、今も現存する(picture at the Firestone Library)。
(存在命題を表すのにvという文字を使うなどの)ブールの体系の欠点は全て彼の追随者たちによって改善された。ジェヴォンズは1864年に『純粋論理学、または量とは別の質の論理学』(英:Pure Logic; or, the Logic of Quality apart from Quantity)を出版し、その中で非常に簡素化されたブールの体系に則って排他的論理和を表す記号を提案した[101]。これは、シュレーダーの『講義集』(独:Vorlesungen、1890年–1905年)のなかでparallel columnに定理を適用する際に便利に利用された。パース(1880年)は、全てのブール選択関数を一つの原始的な二項演算「否定論理和」と、同頻度で「否定論理積」を利用して表す方法を示したが[102]、他の多くのパースの業績と同様に、1913年にシェファーが再発見するまでは知られないままでいた[103]。ブールの初期の著作も、パース(1867年)、シュレーダー(1877年)、ジェヴォンズ(1890年)に源を発する論理和の知識[104]や、ジェルゴンヌ(1816年)が最初に提案しパース(1870年)が明確に表現した内含 (Inclusion (logic)) という概念を欠いていた。
ブール代数系の成功により、あらゆる論理は代数的に表せると主張されるようになり、そういった形式で関係の論理を表そうという試みが生まれたが、その中でも最も野心的なものはシュレーダーの記念碑的作品『論理代数講義』(独:Vorlesungen über die Algebra der Logik、vol iii 1895)である。しかし基本的な考えはやはりパースによって予期されていた[105]。
この時期は、特に1950年代とそれ以降は、数理論理学の概念が哲学的思考に影響を与え始めた時期でもある。例えば、時制論理は時間で修飾された文を表現し、推理するために形式化された体系である。哲学者アーサー・プライアーは1960年代においてこの分野の発展に大きな役割を果たした。様相論理は形式論理学の射程を拡張してモダリティの要素(例えば、論理的可能性や必要性)を包含するようにした。ソール・クリプキの思想、特に可能世界に関する思想と今日クリプキ意味論と呼ばれている形式的体系は分析哲学に重大な影響を及ぼした[123]。彼の最もよく知られ最も影響力を持った著作は『名指しと必然性』(1980年)である[124]。義務論理は様相論理と緊密に関係している: 義務論理は義務、許可、その他関連する概念の論理的特徴を把握しようとする。アレクシウス・マイノングの弟子エルンスト・マリーはホワイトヘッドとラッセルの命題計算の統語論に基づいて『義務の基本法則』(独:Grundgesetze des Sollens)で初めて形式的な義務体系を提議した。第二次世界大戦後に創始された他の論理体系としてイランの数学者ロトフィ・ザデーが1965年に始めたファジィ論理がある。
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^Kneale, p. 20. For example, the proof given in the Meno that the square on the diagonal is double the area of the original square presumably involves the forms of the square and the triangle, and the necessary relation between them
^"Throughout later antiquity two great schools of logic were distinguished, the Peripatetic which was derived from Aristotle, and the Stoic which was developed by Chrysippus from the teachings of the Megarians" – Kneale p. 113
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^Before publishing, he wrote to De Morgan, who was just finishing his work Formal Logic. De Morgan suggested they should publish first, and thus the two books appeared at the same time, possibly even reaching the bookshops on the same day. cf. Kneale p. 404
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