Elgh versuchte in den 1970er Jahren den klassischen Weg durch die Monoposto-Formeln von der Formel Vau Richtung Formel 1. In den späten 1970er Jahren galt er in Schweden als großes Talent und wurde von schwedischen Motorsportjournalisten bereits als Nachfolger der knapp hintereinander verstorbenen Gunnar Nilsson und Ronnie Peterson gesehen. Gemanagt wurde er in den 1970er und 1980er Jahren vom früheren Rennfahrer Torsten Palm.
Über die Formel-Super-Vau, die schwedische und die europäische, kam er 1977 in die Britische Formel-3-Meisterschaft. Nicht zuletzt deswegen, weil die meisten Formel-1-Teams ihre Fabriken in Großbritannien hatten, und wegen der großen Dichte an talentierten Fahrern galt die britische Meisterschaft als Sprungbrett in die Formel 1. Die Saison 1977 bestritt der Schwede für das Chevron Racing und wurde knapp hinter Derek Daly ex aequo mit Stephen South Zweiter in der Meisterschaft.[1]
Nach einem ersten Rennen 1977 stieg er 1978 von der Formel 3 in die nächsthöhere Rennklasse, die Formel 2 auf und ging für das Team von Fred Opert an den Start. Opert wurde später Teammanager im ATS Racing Team. Die erste Saison – Einsatzfahrzeug war ein Chevron B42 – verlief für einen Rockie durchaus erfolgreich. In Pau wurde er mit einem Rückstand von knapp 20 Sekunden auf Bruno Giacomelli, der einen Werks-March 782 fuhr, Zweiter[2] und beendete die Rennen in Rouen-les-Essarts[3] und Hockenheim[4] als Sechster. In der Schlusswertung der Meisterschaft platzierte er sich als Gesamtelfter[5].
Trotz dieser Erfolge gelang dem Schweden der Sprung in die Formel-1-Weltmeisterschaft nicht, daher suchte er neue Herausforderungen in Asien. Bereits Anfang der 1980er-Jahre wechselten viele europäische Rennfahrer in die lukrativen japanischen Monopostoserien. Elgh fuhr dort erfolgreich in der japanischen Formel-2- und Formel-3000-Meisterschaft.
Bis zum Ende seiner Karriere 1995 war er eng mit Dome und dem Sportwagenteam von Toyota verbunden, für die er fast durchgehend engagiert war. Elgh galt als starker Entwicklungsfahrer und loyaler Teamplayer, der auch zu Zeiten bei Toyota blieb, als Erfolge weitgehend ausblieben. Sein erstes Langstreckenrennen gewann er 1985; mit Partner Geoff Lees triumphierte er beim 500-km-Rennen von Suzuka, einem Rennen der All Japan Sports Prototype Championship auf einem Dome 84C.[13] Sein Letzter der vier Erfolge in der japanischen Sportwagen-Meisterschaft war der Gesamtsieg beim 500-km-Rennen von Sugo 1991; wieder mit Lees als Partner, diesmal im Toyota 91C-V[14].
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