Operazione interna

In matematica, un'operazione interna ad n argomenti (o n-aria) su un insieme ${\displaystyle X}$ è una funzione che ad ogni n-upla di ${\displaystyle X^{n}}$ associa un elemento dello stesso ${\displaystyle X}$.

Definizione

Sia ${\displaystyle X}$ un insieme non vuoto e sia ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Si chiama operazione interna su ${\displaystyle X}$ una funzione ${\displaystyle *}$ dal prodotto cartesiano ${\displaystyle X^{n}}$ a valori in ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle *:X^{n}\to X}$

Equivalentemente, sia ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, si chiama operazione interna su ${\displaystyle X}$ una funzione ${\displaystyle *}$:

${\displaystyle *:X_{1}\times \ldots \times X_{m-1}\to X_{m}}$

se ${\displaystyle X_{1}=\ldots =X_{m-1}=X_{m}=X}$.

Se ${\displaystyle n=2}$, l'operazione è detta operazione binaria interna su ${\displaystyle X}$ e l'immagine della coppia di punti ${\displaystyle (x,y)}$ si denota preferibilmente con la notazione di operazione ${\displaystyle x*y}$ piuttosto che con la notazione funzionale ${\displaystyle *(x,y)}$.

Un insieme non vuoto dotato di una sola operazione interna è detto avere struttura di magma o di gruppoide.

Il motivo principale per cui può essere necessario verificare che un'arbitraria operazione ${\displaystyle *}$ sia o meno interna su un insieme ${\displaystyle X}$ (pure arbitrario purché non vuoto) sta nel fatto che solo se l'operazione è interna la coppia ${\displaystyle (X,*)}$ può essere considerata come struttura algebrica. Alternativamente, si può dire che condizione necessaria affinché una coppia ${\displaystyle (X,*)}$ sia una struttura algebrica è che l'operazione ${\displaystyle *}$ verifichi la proprietà di chiusura su ${\displaystyle X}$.

Operazione esterna

Un'operazione non interna su un insieme ${\displaystyle X}$ si dice operazione esterna.

Esempi

Operazioni interne

L'operazione di somma usualmente denotata con + è interna sull'insieme dei numeri naturali e così pure lo è sugli interi, sui razionali, sui reali ed anche sui complessi.

Analogamente, il prodotto è operazione interna su ciascuno degli stessi insiemi.

Le operazioni di massimo comun divisore e di minimo comune multiplo sono operazioni interne sull'insieme dei numeri naturali.

Le operazioni di unione ed intersezione sono interne sull'insieme delle parti di un insieme.

Il prodotto vettoriale è operazione interna sull'insieme delle terne di numeri reali:

${\displaystyle \wedge :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle ({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}}$

Operazioni esterne

Il prodotto scalare è un'operazione esterna sull'insieme delle terne di numeri reali:

${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle ({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}}$

essa ha infatti valori nel campo reale su cui è definito lo spazio vettoriale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ e non nello spazio vettoriale stesso.

Il prodotto di un vettore per uno scalare è ancora operazione esterna all'insieme delle terne di numeri reali:

${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (k,{\vec {v}})\mapsto k{\vec {v}}}$

in quanto se la si pensa come funzione

${\displaystyle \cdot :A\times B\to C}$

si ha che anche in questo caso gli insiemi ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ non sono tutti e tre uguali.

Il prodotto misto:

${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle ({\vec {v}},{\vec {w}},{\vec {z}})\mapsto {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\cdot {\vec {z}}}$

è infine ancora un'operazione (ternaria) esterna su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Bibliografia

• Algebra, S. Mac Lane, G. Birkhoff, ed.: Mursia.

Voci correlate

• Gruppoide
• Operazione aritmetica
• Operazione binaria
• Proprietà di chiusura
• Struttura algebrica