Loi triangulaire

En théorie des probabilités, une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de sa borne inférieure à son mode, et de son mode à sa borne supérieure. Elle est mentionnée sous deux versions : une loi discrète et une loi continue.

Version discrète

La loi triangulaire discrète de paramètre entier positif a est définie pour tout entier x compris entre –a et a par :

${\displaystyle \mathrm {P} (x)={\frac {a+1-|x|}{(a+1)^{2}}}}$.

Version continue

Triangulaire
Densité de probabilité Densité de la loi triangulaire
Fonction de répartition Fonction de répartition de la loi triangulaire
Paramètres	${\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle b:~b>a\,}$ ${\displaystyle c:~a\leq c\leq b\,}$
Support	${\displaystyle a\leq x\leq b\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{pour }}a<x\leq c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{pour }}c<x\leq b\end{matrix}}\right.}$
Fonction de répartition	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{pour }}a<x<c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{pour }}c<x\leq b\end{matrix}}\right.}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}$
Médiane	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{pour }}c\!\geq \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\\&\\b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{pour }}c\!\leq \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\end{matrix}}\right.}$
Mode	${\displaystyle c\,}$
Variance	${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$
Asymétrie	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle -{\frac {3}{5}}}$
Entropie	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c){\rm {e}}^{at}\!-\!(b\!-\!a){\rm {e}}^{ct}\!+\!(c\!-\!a){\rm {e}}^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c){\rm {e}}^{{\rm {i}}at}\!-\!(b\!-\!a){\rm {e}}^{{\rm {i}}ct}\!+\!(c\!-\!a){\rm {e}}^{{\rm {i}}bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
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Caractérisation

La loi triangulaire continue sur le support ]a ; b[ et de mode c a pour fonction de densité :

${\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{ si }}a<x\leq c\\\\\displaystyle {\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\mbox{ si }}c<x\leq b\\\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

Dans de nombreux domaines, la loi triangulaire est considérée comme une version simplifiée de la loi bêta.

Liens avec la loi uniforme

Soit X₁ et X₂ deux variables indépendantes et identiquement distribuées selon une loi uniforme standard. Alors:

• la distribution de la moyenne

  ${\displaystyle \mathrm {Y} :={\frac {\mathrm {X} _{1}+\mathrm {X} _{2}}{2}}}$

est une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = ½. C'est alors un cas particulier de la loi Bates, avec n = 2.

• la distribution de l'écart absolu

  ${\displaystyle \mathrm {Z} :=|\mathrm {X} _{1}-\mathrm {X} _{2}|}$

est aussi distribué selon une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = 0.

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Triangular Distribution », sur MathWorld