Loi de Wishart inverse

Loi de Wishart inverse
Paramètres	${\displaystyle \nu >p-1\!}$ Degré de liberté ${\displaystyle \mathbf {\Psi } >0\,}$ paramètre d'échelle inverse (${\displaystyle p\times p}$ matrice définie positive)
Support	l'ensemble des matrices définies positives
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\frac {\nu }{2}}}{2^{\frac {\nu p}{2}}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-{\frac {\nu +p+1}{2}}}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {\Psi } }\mathbf {X} ^{-1})}}$ où ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ est la fonction gamma multidimensionnelle et ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ est la fonction trace
Espérance	${\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}}$
Mode	${\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu +p+1}}}$[1]
Variance	voir l'article
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Wishart inverse, également appelée loi de Wishart inversée, est une loi de probabilité définie sur l'ensemble des matrices définies positives à coefficients réels.

Une variable qui suit une loi de Wishart inverse sera notée ${\displaystyle \mathbf {X} \sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}$ et est définie par la loi de sa matrice inverse : ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}}$ suit une loi de Wishart ${\displaystyle W({\mathbf {\Psi } }^{-1},\nu )}$.

Densité

La densité de probabilité de la loi de Wishart inverse est :

${\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\frac {\nu }{2}}}{2^{\frac {\nu p}{2}}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-{\frac {\nu +p+1}{2}}}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {\Psi } }\mathbf {X} ^{-1})}}$

où ${\displaystyle \mathbf {X} }$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ sont des matrices définies positives ${\displaystyle p\times p}$ et ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ est la fonction gamma multidimensionnelle.

Théorèmes

Loi de l'inverse d'une matrice de loi de Wishart

Si ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W({\mathbf {\Sigma } },\nu )}$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ est une matrice ${\displaystyle p\times p}$, alors ${\displaystyle \mathbf {X} ={\mathbf {A} }^{-1}}$ est de loi de Wishart inverse : ${\displaystyle \mathbf {X} \sim W^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},\nu )}$ ^[2].

Lois marginales et conditionnelles

Supposons que ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}$ est de loi de Wishart inverse. Séparons convenablement en deux matrices ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ :

${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}}$

où ${\displaystyle {\mathbf {A} _{ij}}}$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{ij}}}$ sont des matrices ${\displaystyle p_{i}\times p_{j}}$, alors on obtient

1. ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}$ est indépendant de ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}$ et de ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}}$, où ${\displaystyle {\mathbf {A} _{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }_{22}-{\mathbf {A} }_{21}{\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}$ est le complément de Schur de ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}$ dans ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$;
2. ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } _{11}},\nu -p_{2})}$;
3. ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}|{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim MN_{p_{1}\times p_{2}}({\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12},{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1})}$, où ${\displaystyle MN_{p\times q}(\cdot ,\cdot )}$ est la loi normale multidimensionnelle;
4. ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } }_{22\cdot 1},\nu )}$

Moments

Cette section est basée sur l'article [Press, 1982]^[3], après avoir reparamétré le degré de liberté pour être consistent avec la définition de la densité donnée ci-dessus.

La moyenne est^[2] :

${\displaystyle E(\mathbf {X} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}.}$

La variance de chaque élément de ${\displaystyle \mathbf {X} }$ est :

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ij})={\frac {(\nu -p+1)\psi _{ij}^{2}+(\nu -p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}}$

a variance de la diagonale utile la même formule que ci-dessus avec ${\displaystyle i=j}$, ce qui se simplifie en :

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}.}$

Liens avec d'autres lois

Une version unidimensionnelle de la loi de Wishart inverse est la loi inverse-gamma. Avec ${\displaystyle p=1}$, c'est-à-dire unidimensionnel, ${\displaystyle \alpha =\nu /2}$, ${\displaystyle \beta =\mathbf {\Psi } /2}$ et ${\displaystyle x=\mathbf {X} }$, la densité de probabilité de la loi de Wishart inverse devient

${\displaystyle p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.}$

c'est-à-dire, la loi inverse-gamma où ${\displaystyle \Gamma _{1}(\cdot )}$ est la fonction gamma classique.

La loi de Wishart inverse est un cas particulier de la loi gamma inverse multidimensionnelle.

Références

1. A. O'Hagan, and J. J. Forster, Kendall's Advanced Theory of Statistics : Bayesian Inference, vol. 2B, Arnold, 2004, 2^e éd. (ISBN 0-340-80752-0)
2. Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby, Multivariate Analysis, Academic Press, 1979 (ISBN 0-12-471250-9)
3. (en) S.J. Press, Applied Multivariate Analysis, New York, Dover Publications, 1982