Loi demi-logistique

Loi demi-logistique
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma >0}$
Support	${\displaystyle x\in ]\mu ;\infty [}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}}$
Fonction de répartition	${\displaystyle {\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}}$
Espérance	${\displaystyle \ln(4)}$ (cas centré réduit)
Médiane	${\displaystyle \ln(3)}$ (cas centré réduit)
Mode	${\displaystyle \mu }$
Variance	${\displaystyle \pi ^{2}/3-(\ln(4))^{2}}$ (cas centré réduit)
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-logistique est une loi de probabilité continue de la valeur absolue d'une variable aléatoire de loi logistique. Si Y est une variable aléatoire de loi logistique, alors

${\displaystyle X=|Y|\!}$

est de loi demi-logistique. Cette loi dépend alors des deux mêmes paramètres que la loi logistique : ${\textstyle \mu \in \mathbb {R} }$ et ${\textstyle \sigma >0}$, représentée par la notation : ${\displaystyle X\sim {\frac {1}{2}}\log(\mu ,\sigma )}$.

Caractéristique

Densité de probabiltié

La densité de probabilité de la loi demi-logistique est donnée par :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Dans le cas centré réduit, c'est-à-dire ${\displaystyle \mu =0}$ et ${\displaystyle \sigma =1}$, la densité de probabilité s'écrit :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2\mathrm {e} ^{x}}{(1+\mathrm {e} ^{x})^{2}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi demi-logistique est:

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

et pour le cas centré réduit :

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{x}+1}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

En particulier, ${\textstyle F_{X}(x)=2f_{X}(x)-1}$.

Liens avec d'autres lois

• ${\displaystyle \ln \left({\frac {\mathrm {e} ^{X}+1}{\mathrm {e} ^{X}-1}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)}$ si et seulement si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {E}}(1)}$ (loi exponentielle).
• ${\displaystyle \ln \left(X-1\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)}$ si et seulement si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pareto} (1,2)}$ (Distribution de Pareto).
• Si ${\displaystyle X\sim U(0,1)}$ (loi uniforme continue), alors ${\displaystyle \ln \left({\frac {2-X}{X}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)}$.

Références

• (en) George Olusengun, Meenakshi Devidas, Handbook of the Logistic Distribution, New York, Marcel Dekker, Inc., 1992, 232–234 p. (ISBN 0-8247-8587-8), « Some Related Distributions »

• (en) A.K. Olapade, « On Characterizations of the Half-Logistic Distribution », InterStat, n^o 2,‎ février 2003 (lire en ligne)