Loi binomiale négative étendue

Loi binomiale négative tronquée étendue
Paramètres	${\displaystyle m\in \mathbb {N} ^{*}}$ ${\displaystyle p\in [0,1[}$ ${\displaystyle q=1-p}$ ${\displaystyle r\in \,]-m,-m+1[}$[1]
Support	${\displaystyle k\in \{m,m+1,m+2,\ldots \}}$
Fonction de masse	${\displaystyle {\frac {{k+r-1 \choose k}q^{k}}{p^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}q^{j}}}}$
Fonction génératrice des probabilités	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {(1-qt)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(qt)^{j}}{p^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}q^{j}}}}$
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi binomiale négative tronquée étendue^[2],[3] (ou simplement loi binomiale négative étendue^[4]) est une loi de probabilité discrète qui étend la loi binomiale négative ainsi que sa version tronquée^[5] pour laquelle des méthodes d'estimation ont été étudiées^[6].

Dans le contexte de la science actuarielle, la loi apparait, pour la première fois, dans sa forme générale (c'est-à-dire pour un paramètre m entier strictement positif quelconque) dans un article de Klaus Hess, Anett Liewald et Klaus D. Schmidt^[4] en 2002 où les auteurs caractérisent la loi par une extension de l'itération de Panjer (en). La loi binomiale négative tronquée étendue dans le cas m=1 a été introduite par Steinar Engen en 1974^[7].

Une loi binomiale négative tronquée étendue dépend de trois paramètres : un entier positif non nul m, un réel p entre 0 (inclus) et 1 (exclus) et un réel r strictement compris entre -m et -m+1.

Définition

Pour un entier naturel ${\displaystyle m\geq 1}$ et des paramètres réels ${\displaystyle 0\leq p<1}$ et ${\displaystyle -m<r<-m+1}$, la loi binomiale négative étendue est définie par sa fonction de masse :

${\displaystyle f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}q^{k}}{p^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}q^{j}}}~~~\forall k=m,m+1,\dots }$

où ${\displaystyle q=1-p}$ et

${\displaystyle {k+r-1 \choose k}={\frac {(k+r-1)_{k}}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \choose k}}$

est un coefficient binomial généralisé, ${\displaystyle \Gamma }$ étant la fonction gamma et ${\displaystyle (x)_{k}}$ désignant la factorielle décroissante.

Fonction génératrice des probabilités

En utilisant la représentation avec les coefficients binomiaux, la fonction génératrice des probabilités de la loi binomiale négative étendue est donnée par :

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{X}(t)&=\sum _{k=m}^{\infty }f(k;m,r,p)t^{k}\\&={\frac {(1-qt)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(qt)^{j}}{p^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}q^{j}}}\qquad {\text{ pour }}|t|\leq {\frac {1}{q}}.\end{aligned}}}$

Pour le cas m = 1, et donc pour ${\displaystyle r\in \left]-1,0\right[}$, la fonction génératrice s'écrit

${\displaystyle G_{X}(t)={\frac {1-(1-qt)^{-r}}{1-p^{-r}}}\qquad {\text{ pour }}|t|\leq {\frac {1}{q}}.}$

Références

1. On peut aussi considérer le cas où r>0 (mais dans ce cas p ne peut être nul). On observe alors que la loi binomiale négative étendue n'est autre que la loi binomiale négative tronquée en m, c'est-à-dire, conditionnée à être supérieure ou égale à la valeur m.
2. (en) Gordon Willmot, « Sundt and Jewell's family of discrete distributions », ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA, vol. 18(1),‎ 1988, p. 17-29 (DOI 10.2143/AST.18.1.2014957, lire en ligne)
3. J F Walhin, « La loi de Poisson-Katz en assurance : avantages et inconvénients »
4. (en) Klaus T Hess, Anett Liewald et Klaus D Schmidt, « An Extension of Panjer's Recursion », ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA, vol. 32(2),‎ 2002, p. 283-297 (DOI 10.2143/AST.32.2.1030, lire en ligne)
5. Jonhnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley (ISBN 0-471-54897-9) (page 227)
6. Shah S.M. (1971) "The displaced negative binomial distribution", Bulletin of the Calcutta Statistical Association, 20, 143–152
7. (en) Steinar Engen, « On species frequency models », Biometrika, vol. 61,‎ 1974, p. 263-270 (DOI https://doi.org/10.2307/2334353, lire en ligne)