Processus de Poisson composé

Un processus de Poisson composé, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, est un processus stochastique en temps continu à droite limité à gauche (Càdlàg). C'est en particulier un processus de Lévy.

Définition

Un processus de Poisson composé est un processus aléatoire indexé par le temps qui s’écrit est un processus de Poisson et est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées et indépendantes de .

Propriétés

Accroissements

Comme tout processus de Lévy, le processus de Poisson composé est à accroissements indépendants et à accroissements stationnaires. De plus, les lois de ses accroissements sont infiniment divisibles.

Moments

Espérance

Moment d'ordre 1 —  Si admet un moment d'ordre 1, alors pour tout la variable aléatoire possède un moment d'ordre 1 et

est l'intensité du processus de Poisson .



Variance

Variance —  Si admet un moment d'ordre 2, alors pour tout , admet un moment d'ordre 2 et on a

.

Loi des grands nombres

On peut écrire une loi des grands nombres pour le processus de Poisson composé.

Théorème — Si les ont un moment d'ordre 2, alors

Fonction caractéristique

La fonction caractéristique de détermine entièrement sa loi de probabilité.

Théorème —  La fonction caractéristique d'un processus de Poisson composé d'intensité s'écrit

Théorème central limite

On peut établir un théorème de convergence pour le processus .

Théorème —  Soit un processus de Poisson composé d'intensité . On suppose les centrées, réduites et indépendantes et identiquement distribuées. On a alors la convergence en loi suivante

Annexes

Bibliographie

Notes et références

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