Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.
Якщо функція f {\displaystyle f} неперервна на проміжку [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , диференційовна в ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , то знайдеться принаймні одна точка c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} така, що має місце формула:
f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} .
Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.
Розглянемо на проміжку [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} наступну допоміжну функцію:
F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) ( 1 ) {\displaystyle F(x)=\!f(x)-\!f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\qquad \qquad (1)} .
Перевіримо, що для функції F ( x ) {\displaystyle F(x)} виконані всі умови теореми Ролля. І справді, F ( x ) {\displaystyle \!F(x)} неперервна на проміжку [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} (як різниця функції f ( x ) {\displaystyle \!f(x)} та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжку [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} має похідну:
F ′ ( x ) = f ′ ( x ) − f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle F'(x)=\!f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} .
З формули (1) очевидно, що F ( a ) = F ( b ) = 0 {\displaystyle F(a)=\!F(b)=0} .
Згідно з теоремою Ролля на проміжку ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} знайдеться точка c {\displaystyle c} така, що
F ′ ( c ) = f ′ ( c ) − f ( b ) − f ( a ) b − a = 0 ( 2 ) {\displaystyle F'(c)=\!f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\qquad \qquad (2)}
З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати, що b > a {\displaystyle b>a} .
У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.
Іноді буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, дещо відмінному від початкового. Нехай f ( x ) {\displaystyle f(x)} відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке x 0 {\displaystyle \!x_{0}} з проміжку [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} та надамо йому довільний приріст Δ x {\displaystyle \Delta \ \!x} , але такий, щоб значення x 0 + Δ x {\displaystyle x_{0}+\Delta \ \!x} також належало до проміжку [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Тоді для проміжку [ x 0 , x 0 + Δ x ] {\displaystyle \![x_{0},\!x_{0}+\Delta \ \!x]} , будемо мати:
f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = Δ x ⋅ f ′ ( c ) ( 3 ) {\displaystyle f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(c)\qquad \qquad (3)} ,
де c {\displaystyle c} — деяка точка, що лежить між x 0 {\displaystyle x_{0}} та x 0 + Δ x {\displaystyle x_{0}+\Delta \ \!x} . Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від Δ x {\displaystyle \Delta \ \!x} ) число θ {\displaystyle \theta \ } з інтервалу 0 < θ < 1 {\displaystyle 0<\theta \ <1} , що c = x 0 + θ Δ x {\displaystyle c=x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x} . Таким чином, формулу (3) можна переписати як
f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = Δ x ⋅ f ′ ( x 0 + θ Δ x ) ( 4 ) {\displaystyle f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x)\qquad \qquad (4)} ,
де θ {\displaystyle \theta \ } — деяке число з інтервалу 0 < θ < 1 {\displaystyle 0<\theta \ <1} . Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст Δ x {\displaystyle \Delta \ \!x} аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».
Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} та ( b , f ( b ) ) {\displaystyle (b,f(b))} кривої y = f ( x ) {\displaystyle y=\!f(x)} , f ′ ( c ) {\displaystyle \!f'(c)} є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої y = f ( x ) {\displaystyle y=\!f(x)} . Формула Лагранжа означає, що на кривій y = f ( x ) {\displaystyle y=\!f(x)} між точками x = a {\displaystyle x=a} та x = b {\displaystyle x=b} знайдеться точка x = c {\displaystyle x=c} така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.
Якщо розглянути функцію f ( x ) {\displaystyle f(x)} як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом s ( t ) = f ( x ) {\displaystyle s(t)=\!f(x)} , тоді різниця f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle f(b)-\!f(a)} є шлях, пройдений тілом, а різниця b − a {\displaystyle b-\!a} є усім часом, який було витрачено на подолання шляху f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle f(b)-\!f(a)} . Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:
f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} .
Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.