Невласний інтеграл

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь^[en] Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками^[en] Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці^[en] Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз
п о р

Невла́сний інтегра́л, невласти́вий інтегра́л — розширення поняття інтеграла Рімана. В інтегралі Рімана розглядають

• скінченний проміжок інтегрування [a, b];
• підінтегральна функція f(x) — обмежена (необхідна умова інтегровності функції за Ріманом).

Невласний інтеграл I (першого) роду розглядається на нескінченному проміжку інтегрування (і обчислюється як границя послідовності інтегралів Рімана по скінченних проміжках, які «розширюються»), а невласний інтеграл II (другого) роду — це інтеграл з необмеженою підінтегровною функцією (обчислюється як границя послідовності інтегралів Рімана по інтервалах, які наближаються до особливої точки підінтегральної функції, де ця функція прямує до нескінченності).

Подальшим узагальненням інтеграла Рімана є поняття головного значення інтеграла за Коші.

Невласний інтеграл першого роду («нескінченний інтервал»)

Означення

Невласний інтеграл першого роду є площею нескінченно широкої криволінійної трапеції

Нехай a ∈ R. Невласний інтеграл першого роду визначається на одному з таких нескінченних інтервалів:

1. (a, +∞);
2. (−∞, a);
3. (-∞, +∞).

Означення для інтервалу (a, +∞)

Означення. Нехай функція f : (a, +∞) → R така, що ∀ A > a : f ∈ R([a, A]), тобто є скінченним інтеграл Рімана

${\displaystyle \int _{a}^{A}f(x)\,dx=:F(A).}$

Якщо існує скінченна границя послідовності інтегралів F(A), коли A → +∞, то

• значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (a, +∞) і позначають символом ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx;}$

• невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx}$ називають збіжним.

Якщо ж виконуються умови означення, але границя F(A) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

Аналогічно можна дати означення невласного інтеграла першого роду для інтервалу (−∞, a).

Приклад. Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int _{-1}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Для довільного A > 0 функція f(x) = 1/x ∉ R([-1, A]) (бо є необмеженою в околі точки 0). Отже, даний інтеграл не є невласним інтегралом першого роду.

Приклад. Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx.}$

Для всіх A > 0 функція f(x) = 1/(1+x²) ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

${\displaystyle F(A):=\int _{0}^{A}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\mathop {\mathrm {arctg} } \,x{\Bigr |}_{x=0}^{A}=\mathop {\mathrm {arctg} } \,A\rightarrow \pi /2,\quad A\to +\infty .}$

Отже, даний невласний інтеграл є збіжним, і його значення дорівнює π/2.

Приклад. Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Для всіх A > 1 функція f(x) = 1/x ∈ R([1, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

${\displaystyle F(A):=\int _{1}^{A}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln x{\Bigr |}_{x=1}^{A}=\ln A\rightarrow +\infty ,\quad A\to +\infty .}$

Отже, даний невласний інтеграл є розбіжним.

Приклад. Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\cos x\,dx.}$

Для всіх A > 0 функція f(x) = cos x ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

${\displaystyle F(A):=\int _{1}^{A}\cos x\,dx=\sin x{\Bigr |}_{x=0}^{A}=\sin A.}$

Оскільки не існує границі sin A при A → +∞,^[1] то даний невласний інтеграл є розбіжним.

Означення для інтервалу (−∞, +∞)

Означення. Нехай функція f : (−∞, +∞) → R така, що ∀ A, B ∈ R, A < B : f ∈ R([A, B]), тобто є скінченним інтеграл Рімана

${\displaystyle \int _{A}^{B}f(x)\,dx=:F(A,B);}$

Якщо існує скінченна подвійна границя послідовності інтегралів F(A, B), коли A → −∞ та B → +∞ незалежно одне від одного, то

• значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (−∞, +∞) і позначають одним із символів

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx,\qquad \int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx}$

• невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ називають збіжним.

Якщо ж виконується умова означення, але границя F(A, B) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

Властивості

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ збігається ⇔ ∀a ∈ R інтеграли ${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx,}$ ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx}$ є збіжними;

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ розбігається ⇔ ∃a ∈ R таке, що хоча б один із інтегралів ${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx,}$ ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx}$

є розбіжним.

Критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

Невласний інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx}$ збігається тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists A_{0}\geq a\quad \forall A'\geq A_{0}\quad \forall A''\geq A_{0}:\quad \left|\int _{A'}^{A''}f(x)\,dx\right|<\varepsilon .}$

Аналогічно можна сформулювати критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду по інтервалу (−∞, a).

Ознаки порівняння збіжності невласних інтегралів першого роду

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

• Якщо існує функція g(x) така, що
  1. |f(x)| ≤ g(x) для всіх x ≥ a та
  2. ∫_a^+∞g(x) dx збігається,

то ∫_a^+∞f(x) dx теж збігається.

• Якщо існує функція g(x) така, що
  1. 0 ≤ g(x) ≤ |f(x)| для всіх x ≥ a та
  2. ∫_a^+∞g(x) dx розбігається,

то ∫_a^+∞f(x) dx теж розбігається.

У випадку, коли f(x) — невід'ємна, ознаки порівняння можна схематично записати у вигляді:

       f(x) ≤ g(x)
        зб. ⇐ зб.
      розб. ⇒ розб.

Аналогічні твердження мають місце для невласних інтегралів по інтервалам (−∞, a) та (−∞, +∞).

Абсолютна збіжність

Означення. Невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx}$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є невласний інтеграл

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|\,dx.}$

Означення. Збіжний невласний інтеграл, який не є абсолютно збіжним, називається умовно збіжним.

Теорема. Якщо невласний інтеграл збігається абсолютно, то він збігається.

Ознаки збіжності

Ознака Діріхле

Нехай для функцій {f, g} ⊂ C([a, +∞)) виконуються умови:

1. існує стала C ∈ R така, що для всіх A ≥ a: ${\displaystyle \left|\int _{a}^{A}f(x)dx\right|\leq C;}$
2. функція g монотонна на [a, +∞);
3. g(x) → 0 при x → +∞.

Тоді збіжним буде невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx.}$

Приклад. Розглянемо інтеграл Діріхле

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx.}$

Цей інтеграл є збіжним за ознакою Діріхле: функції f(x) = sin x та g(x) = 1/x є неперервними на [1, +∞) та задовольняють умовам 1—3 ознаки Діріхле.

Ознака Абеля

Нехай функції f, g визначені на [a, +∞) та задовольняють умовам:

1. збіжним є невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx;}$
2. функція g монотонна на [a, +∞);
3. функція g — обмежена на [a, +∞).

Тоді збіжним буде невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx.}$

Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)

Невласний інтеграл другого роду є площею нескінченно високої криволінійної трапеції

Невласний інтеграл другого роду є узагальненням інтеграла Рімана для випадку необмеженої функції.

Нехай функція f(x) визначена та неперервна на інтервалі [a, b).

Означення. Точка b називається особливою точкою функції f(x), якщо

• для всіх α ∈ (0, b − a) функція f є обмеженою на інтервалі [a, b − α);
• функція f — необмежена на інтервалі [a, b).

Розглянемо функцію

${\displaystyle F(\alpha ):=\int _{a}^{b-\alpha }f(x)\,dx,\quad \alpha \in (0,b-a).}$

Означення. Нехай виконуються умови:

1. функція f(x) визначена та неперервна на інтервалі [a, b);
2. точка b — особлива точка функції f(x);
3. існує скінченна границя F(α) при α → 0.

Тоді

• значення цієї границі називають невласним інтегралом другого роду і позначають символом ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx;}$

• кажуть, що цей невласний інтеграл збігається (або є збіжним).

Якщо виконуються умови 1—2 означення, але границя F(α) не існує або дорівнює ±∞, то такий невласний інтеграл розбігається (називається розбіжним).

Зауваження. У випадку, коли функція f(x) має скінченну кількість особливих точок на проміжку інтегрування, то інтеграл розбивають на суму інтегралів по інтервалам, в кожному з яких присутня лише одна особлива точка на одному з кінців інтегрування.

Зв'язок між невласними інтегралами І та ІІ родів

Нижче наведено відображення, які пов'язують інтервали скінченної на нескінченної довжин:

   x           заміна змінної          t
 I [a, +∞)  →  x = a/(1−t)          →  [0, 1)
II [a, b)   →  x = b − (b−a)/(1−t)  →  [0, +∞)

У невласному інтегралі першого роду виконаємо заміну змінних згідно рядку I:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx={\begin{vmatrix}x={\frac {a}{1-t}}\\dx={\frac {a}{(1-t)^{2}}}\,dt\end{vmatrix}}=\int _{0}^{1}{\frac {a}{(1-t)^{2}}}f\left({\frac {a}{1-t}}\right)\,dt,}$

в результаті чого отримаємо інтеграл по скінченному проміжку [0, 1] від необмеженої функції, тобто невласний інтеграл другого роду.

І навпаки, виконавши заміну в невласному інтегралі другого роду згідно рядку ІІ

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\begin{vmatrix}x=b-{\frac {b-a}{1-t}}\\dx=-{\frac {b-a}{(1-t)^{2}}}\,dt\end{vmatrix}}=-\int _{0}^{+\infty }{\frac {b-a}{(1-t)^{2}}}f\left(b-{\frac {b-a}{1-t}}\right)\,dt,}$

отримаємо невласний інтеграл першого роду по нескінченному проміжку [0, +∞).

Зауваження. Зв'язок між невласними інтегралами І та ІІ родів дозволяє звести питання про збіжність невласного інтеграла ІІ роду до питання про збіжність невласного інтеграла І роду, а саме: невласний інтеграл ІІ роду збігається тоді і лише тоді, коли збігається відповідний невласний інтеграл І роду.

Інтеграл від необмеженої функції по нескінченному проміжку

Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx,}$

в якому підінтегральна функція f(x) має скінченну кількість особливих точок p₁ < p₂ < … < p_n всередині проміжку інтегрування. Щоб обчислити даний інтеграл, потрібно скористатися рівністю

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\int _{a}^{p_{n}+1}f(x)\,dx+\int _{p_{n}+1}^{+\infty }f(x)\,dx.}$

В правій частині цієї рівності перший інтеграл — це інтеграл по скінченному проміжку інтегрування зі скінченною кількістю полюсів (див. Зауваження в розділі Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)), а другий інтеграл — це невласний інтеграл першого роду (якщо f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞)). ).

Гамма-функція та бета-функція

Виділяють особливий клас функцій, які представлені у вигляді власного або невласного інтеграла, який залежить не тільки від формальної змінної, а і від параметра. Такі функції називаються інтегралами, залежними від параметра. До їх числа відносяться гамма-функція та бета-функція Ейлера.

Гамма функція представляється невласним інтегралом першого роду:

${\displaystyle \Gamma (a)=\int _{0}^{+\infty }x^{a-1}\exp(-x)\,dx,\quad a>0.}$

Бета функція є невласним інтегралом другого роду:

${\displaystyle B(a,\,b)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx,\quad a>0,\,b>0.}$

Див. також

• Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
• Первісна
• Інтегральне числення
  • Визначений інтеграл
    • Інтеграл Рімана
    • Інтеграл Стілтьєса
    • Інтеграл Лебега
    • Інтеграл Даніелла
    • Інтеграл Бохнера
    • Головне значення інтеграла за Коші
• Метод Самокиша — чисельний метод для обчислення інтегралів з особливостями.

Примітки

1. Розглянемо дві послідовності A_k = 2πk та A´_k = π/2 + 2πk, k ≥ 1,. Маємо sin A_k → 0, a sin A´_k → 1 при k → +∞.

Джерела

• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Невласні інтеграли // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 453. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)