Обертання

Обертання сфери

Оберта́ння — вид руху, при якому одна точка механічної системи, що називається центром обертання, залишається непорушною.

Оберта́льний рух (фізика; механіка) — рух точок тіла по колу відносно прямої.

Для замкнутої механічної системи, для якої виконується закон збереження імпульсу, будь-який рух можна розділити на поступальний рух центра інерції і обертання навколо цього центру.

При обертанні замкнутої механічної системи виконується закон збереження моменту імпульсу.

У загальному випадку незамкненої механічної системи центр обертання може не збігатися з центром інерції. Центр обертання в багатьох випадках фіксований накладеними на механічну систему зовнішніми в'язями. Так, наприклад, при обертанні дзиґи центр обертання — точка опори.

Рух матеріальної точки по колу

Матеріальна точка з масою m здійснює обертання навколо центру, рухаючись по коловій траєкторії з радіусом R під дією сталої за абсолютною величиною сили, яка завжди направлена від точки до центру обертання. Приклад такого руху — обертання тягарця на мотузці. Траєкторія точки лежить у площині, яку називають площиною обертання. Якщо v — швидкість матеріальної точки, то вона рухається з прискоренням

${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {v^{2}}{R^{2}}}\mathbf {R} }$.

Звідси можна знайти зв'язок між швидкістю й прикладеною силою

${\displaystyle \mathbf {F} =-m{\frac {v^{2}}{R^{2}}}\mathbf {R} }$.

При такому обертанні миттєва швидкість матеріальної точки завжди направлена вздовж дотичної до траєкторії.

Якщо розглядати матеріальну точку і в'язь, яка сполучає її з центром обертання, як єдину механічну систему, то можна ввести кутову швидкість обертання.

${\displaystyle \omega ={\frac {v}{R}}}$.

Кутова швидкість загалом є вектором, направленим уздовж перпендикуляра до площини обертання. Цей напрям задає вісь обертання. Рівняння руху записується через кутову швидкість у вигляді

${\displaystyle \mathbf {F} =-m\omega ^{2}\mathbf {R} }$.

Енергія матеріальної точки, що рухається по колу,

${\displaystyle E=K={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}}$

де ${\displaystyle I=mR^{2}}$ — момент інерції матеріальної точки. Сила, під дією якої точка рухається по колу направлена перпендикулярно до швидкості і не виконує роботи.

Момент інерції матеріальної точки направлений уздовж вектора кутової швидкості

${\displaystyle \mathbf {M} =I{\vec {\omega }}}$.

Рух матеріальної точки в полі центральних сил

У загальному випадку сил, що направлені від матеріальної точки до центру обертання, але залежать від віддалі точки до центру, траєкторія обертання не є колом. Наприклад, у випадку сил тяжіння траєкторія обертання — еліпс.

Матеріальна точка в полі центральних сил рухається в межах площини обертання, орієнтація якої в просторі визначається законом збереження моменту імпульсу. Для обертання планет навколо Сонця ця площина називається площиною екліптики.

Обертання абсолютно твердого тіла

Абсолютно тверде тіло, віддаль між будь-якими точками якого залишається незмінною при обертанні, можна описати як обертання жорстко зв'язаної з цим тілом системи координат. Орієнтацію такої системи координат відносно лабораторної системи спостерігача задають Ейлерові кути.

Обертальний рух тіла навколо нерухомої точки

Обертання твердого тіла можна розділити на власне обертання, прецесію й нутацію.

Обертання тіла навколо фіксованої осі

При фіксованій осі обертання динаміка абсолютно твердого тіла описується рівнянням

${\displaystyle I{\vec {\epsilon }}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=\mathbf {N} }$,

де I — момент інерції відносно осі обертання, ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}\,}$ — кутове прискорення, ${\displaystyle \mathbf {N} }$ — сумарний момент сили, що діє на тіло.

Якщо момент сили дорівнює нулю, то обертання відбувається зі сталою кутовою швидкістю. Вектор кутової швидкості направлений уздовж осі обертання. Енергія такого обертання

${\displaystyle E=K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$.

Див. також

• Теорема обертання Ейлера
• Кінематичні рівняння Ейлера
• Спін
• Ефект Магнуса

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.

Посилання

• Обертання // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 135. — ISBN 978-966-7407-83-4.