Подера

Геометрическое построение красных точек подеры, контраподеры и ортотомики точки P кривой C относительно полюса O

Поде́ра (фр. podaire, от др.-греч. πούς, род. пад. ποδός — нога^[1][2], то есть стопа перпендикуляра; англ. pedal curve; pedal) кривой относительно точки — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные к данной кривой^{[2][3][4][5][6][7][8]}.

Устаревший термин подэ́ра^[3][9][10], или подэ́рная крива́я^[9].

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль»^[11][12].

Например, подера окружности относительно точки, лежащей не в центре окружности, — это улитка Паскаля^[3][13].

Подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, полюсы которых совпадают с полюсом подеры^[14].

Впервые подера рассмотрена 30 июня 1718 года Колином Маклореном (англ. Colin Maclaurin), профессором математики из Абердина, в журнале Философские труды Королевского общества (англ. Philosophical Transactions of the Royal Society) в статье на латинском языке «III. Трактат о построении и измерении кривых, где большинство бесконечных серий кривых сводятся либо к прямым линиям, либо к более простым кривым. Автор Колин Маклорен, профессор математики в колледже^[англ.] Нового Абердина^[англ.]» (лат. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura; ubi plurimae Series Curvarum Infinitae vel rectis mensurantur vel ad Simpliciores Curvas reducuntur. Autore Colin Maclaurin, in Collegio novo Abredonensi Matheseos Professore)^[15][16][17].

Определения

Определения подеры и антиподеры на плоскости

Поде́ра, или (первая) позитивная подера^[18][19], или подошвенная кривая^[19] (англ. pedal; pedal curve; first positive pedal), кривой — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из фиксированной точки, которая называется полюсом^[6][20][8], или центром^[4], или точкой подеры^[20][21], на касательные к исходной кривой^{[3][2][4][5][6][7][21][20][8]}. Подера кривой порядка ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеет порядок ${\displaystyle \leqslant 2n(n-1)}$^[6].

Устаревший термин подэ́ра^[3][9][10], или подэ́рная крива́я^[9].

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль»^[11][12].

Основная статья: Антиподера

Парабола — антиподера прямой

Антиподе́ра, или (первая) негативная подера^[22][23][19] (англ. first negative pedal), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная кривая^[3][2][19]. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой — полюсом^[23].

Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболы^[6][19], как показано на рисунке справа.

Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подеры^[9].

Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямой^[9][19].

Поде́ры степене́й вы́ше пе́рвой обеих разновидностей определяются как подеры подер предыдущей степени с одним и тем же полюсом^[23].

• Подеры кубики Чирнгауза и антиподеры секстики Кэли шести степеней
• 
  Парабола — 1-я подера кубики Чирнгауза — 6-я антиподера секстики Кэли^[англ.]
• 
  Прямая — 2-я подера кубики Чирнгауза, парабола — 5-я антиподера секстики Кэли
• 
  Точка — 3-я подера кубики Чирнгауза, прямая — 4-я антиподера секстики Кэли
• 
  Окружность — 4-я подера кубики Чирнгауза, точка — 3-я антиподера секстики Кэли
• 
  Кардиоида — 5-я подера кубики Чирнгауза, окружность — 2-я антиподера секстики Кэли
• 
  Секстика Кэли — 6-я подера кубики Чирнгауза, кардиоида — 1-я антиподера секстики Кэли

Определение подеры через инверсию и полярное преобразование

Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее утверждение^[14]:

• подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

Другие связанные определения

Основная статья: Подерное преобразование

Поде́рное преобразова́ние — преобразование плоскости, отображающее точки каждой кривой в соответствующие точки её подеры. Это преобразование неточечное, то есть оно не сохраняет точки, прямые и окружности^[4]. Подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли)^[24].

Основная статья: Подерная система координат

Поде́рная систе́ма координа́т — система координат, основанная на подерном преобразовании и состоящие из двух величин: расстояний от полюса до точки кривой и до соответствующей точки её подеры^[25][26].

Поде́ра пове́рхности, или подерная поверхность^[27] — некоторая поверхность, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из постоянной точки на касательные плоскости данной поверхности^[3][27].

Подо́ида, или втори́чная ка́устика (англ. orthotomic; orthotomic curve; secondary caustic), кривой относительно данного полюса — кривая, получающаяся из подеры растяжением в два раза относительно полюса^[28][29]. Другими словами, подоида — некоторая кривая, составленная из точек, симметричных полюсу относительно касательных данной кривой^[30][29][31]. Эволюта ортотомики есть каустика^[31].

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подоида» используется калька с английского «ортото́мика»^[11].

Например, подоида конического сечения относительно его фокуса есть^[32]:

• окружность с центром в другом фокусе эллипса или гиперболы;
• директриса параболы.

Антиподо́ида кривой относительно полюса — кривая, подоида которой относительно полюса есть исходная кривая^[33]. Другими словами, антиподоида — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через середины отрезков, соединяющих точки исходной кривой с полюсом^[33].

Контраподе́ра^[34][35], или норма́льная поде́ра, или норма́льная поде́рная кри́вая (англ. contrapedal; normal pedal; normal pedal curve), кривой относительно полюса — подера эволюты этой кривой относительно того же полюса. Другими словами, котраподера — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из полюса на нормали данной кривой^[18][34][35]. Соответственно, подера кривой относительно полюса — это контраподера эвольвенты этой кривой относительно того же полюса^[35]

Уравнения подеры

Параметрические уравнения подеры

Параметрические уравнения подеры на вещественной плоскости

В общем случае, для параметрически заданной кривой ${\displaystyle \mathbf {z} (t)=(x(t),\;y(t))}$, имеющей производную ${\displaystyle \mathbf {z} '(t)=(x'(t),\;y'(t))}$, подера

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=(X(t),\;Y(t))}$

относительно точки ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(x_{0},\;y_{0})}$ задаётся следующими уравнениями^[36][21]:

${\displaystyle X={\frac {x_{0}x'^{2}+xy'^{2}+(y_{0}-y)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=}$

${\displaystyle =x-x'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}},}$

${\displaystyle Y={\frac {y_{0}y'^{2}+yx'^{2}+(x_{0}-x)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=}$

${\displaystyle =y-y'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

Эти основные уравнения^[37] можно принять за определение подеры^[38].

Доказательство^[39]

Параметрическое уравнение касательной прямой ${\displaystyle (X(t),\;Y(t))}$ параметрически заданной кривой ${\displaystyle (x(t),\;y(t))}$, имеющей производную ${\displaystyle (x'(t),\;y'(t))}$, в точке ${\displaystyle (x,\;y)}$, имеет вид

${\displaystyle Y-y={\frac {y'}{x'}}(X-x).}$

Параметрическое уравнение прямой ${\displaystyle (X(t),\;Y(t)),}$ перпендикулярной касательной и параллельной нормали к параметрически заданной кривой ${\displaystyle (x(t),\;y(t))}$, имеющей производную ${\displaystyle (x'(t),\;y'(t))}$, в точке ${\displaystyle (x,\;y)}$, имеет вид

${\displaystyle Y-y=-{\frac {x'}{y'}}(X-x).}$

Если эта перпендикулярная прямая проходит через точку ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$, то она имеет вид

${\displaystyle Y-y_{0}=-{\frac {x'}{y'}}(X-x_{0}).}$

Чтобы найти точку пересечения касательной прямой и прямой, перпендикулярной к ней и проходящей через точку ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$, нужно решить систему уравнений

${\displaystyle Y-y={\frac {y'}{x'}}(X-x),}$

${\displaystyle Y-y_{0}=-{\frac {x'}{y'}}(X-x_{0}).}$

Вычтем из левой и правой частей первого равнения соответственно левую и правую части второго:

${\displaystyle y_{0}-y={\frac {y'}{x'}}(X-x)+{\frac {x'}{y'}}(X-x_{0}),}$

${\displaystyle y_{0}-y+{\frac {y'}{x'}}x+{\frac {x'}{y'}}x_{0}={\frac {y'}{x'}}X+{\frac {x'}{y'}}X,}$

${\displaystyle {\frac {y'^{2}+x'^{2}}{x'y'}}X={\frac {x'}{y'}}x_{0}+{\frac {y'}{x'}}x+y_{0}-y,}$

${\displaystyle X={\frac {x_{0}x'^{2}+xy'^{2}+(y_{0}-y)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

Подставим полученное выражение для ${\displaystyle X}$ в первое уравнение системы уравнений:

${\displaystyle Y-y={\frac {y'}{x'}}\left(x-x'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}}-x\right),}$

${\displaystyle Y=y-y'{\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

Иногда основные уравнения записывают в более сложном виде^[38]:

${\displaystyle X={\frac {x_{0}x'^{2}+xy'^{2}+(y_{0}-y)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=}$

${\displaystyle =x_{0}+y'{\frac {(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}{x'^{2}+y'^{2}}},}$

${\displaystyle Y={\frac {y_{0}y'^{2}+yx'^{2}+(x_{0}-x)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=}$

${\displaystyle =y_{0}-x'{\frac {(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

В частном случае, относительно полюса ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(0,\;0)}$ в начале координат, основные уравнения будут такими^[3][36]:

${\displaystyle X={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}=x-x'{\frac {xx'+yy'}{x'^{2}+y'^{2}}}=y'{\frac {xy'-yx'}{x'^{2}+y'^{2}}},}$

${\displaystyle Y={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}=y-y'{\frac {xx'+yy'}{x'^{2}+y'^{2}}}=x'{\frac {xy'-yx'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

Параметрические уравнения подеры в двумерном векторном пространстве

В векторном виде основное уравнение будет проще^[38]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} '(t){\frac {(\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} _{0})\mathbf {z} '(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}},}$

или в более сложном виде^[38]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} _{0}+\mathbf {z} '_{\bot }(t){\frac {(\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} _{0})\mathbf {z} '_{\bot }(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}},}$

где ${\displaystyle \mathbf {z} '_{\bot }(t)=\pm (y'(t),\;-x'(t))}$ — вектор нормали, перпендикулярный касательной^[38].

Относительно полюса ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(0,\;i0)}$^[38][3][36]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {z} '(t){\frac {\mathbf {z} (t)\mathbf {z} '(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}}.}$

или в более сложном виде^[38][3][36]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=\mathbf {z} '_{\bot }(t){\frac {\mathbf {z} (t)\mathbf {z} '_{\bot }(t)}{|\mathbf {z} '(t)|^{2}}}.}$

Параметрические уравнения подеры на комплексной плоскости

В комплексных числах для параметрически заданной кривой ${\displaystyle z(t)=(x(t),\;iy(t))}$, имеющей производную ${\displaystyle z'(t)=(x'(t),\;iy'(t))}$, основное уравнение подеры

${\displaystyle \operatorname {pedal} [z,\;z_{0}](t)=Z(t)=(X(t),\;iY(t))}$

относительно точки ${\displaystyle z_{0}=(x_{0},\;iy_{0})}$ будут ещё проще^[40][37]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [z,\;z_{0}](t)=Z(t)={\frac {(z(t)-z_{0}){\overline {z'(t)}}-{\overline {z(t)-z_{0}}}z'(t)}{2{\overline {z'(t)}}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}\left(z(t)-z_{0}-{\frac {{\overline {z(t)-z_{0}}}z'(t)}{\overline {z'(t)}}}\right).}$

В частном случае, относительно полюса ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(0,\;i0)}$, основное уравнение будет таким^[40][37]:

${\displaystyle \operatorname {pedal} [z,\;0](t)=Z(t)={\frac {z(t){\overline {z'(t)}}-{\overline {z(t)}}z'(t)}{2{\overline {z'(t)}}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}\left(z(t)-{\frac {{\overline {z(t)}}z'(t)}{\overline {z'(t)}}}\right).}$

Доказательство^[37]

Красная точка подеры точки кривой относительно полюса в начале координат

Найдём основное уравнение подеры кривой относительно полюса в начале координат ${\displaystyle O=(x_{0},\;iy_{0})}$, показанном на рисунке справа вместе с вещественной осью ${\displaystyle x}$. Текущая точка кривой — ${\displaystyle z}$, подеры — ${\displaystyle Z}$.

Из треугольника ${\displaystyle \triangle OzZ}$ получаем модуль функции ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle |Z|=|z|\sin(\alpha -\varphi ).}$

Так как радиус-вектор ${\displaystyle Z}$ составляет с вещественной осью ${\displaystyle x}$ угол ${\displaystyle -\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$, то аргумент комплексной функции ${\displaystyle Z}$ равен

${\displaystyle \operatorname {Arg} Z=e^{-i\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}=\sin \alpha -i\cos \alpha =-ie^{i\alpha }.}$

Тогда искомое уравнение

${\displaystyle Z=|Z|\operatorname {Arg} Z=-|z|\sin(\alpha -\varphi )ie^{i\alpha }=}$

${\displaystyle {}=-|z|{\frac {\operatorname {Arg} z}{\operatorname {Arg} z}}\sin(\alpha -\varphi )ie^{i\alpha }=-i|z|{\frac {e^{i\varphi }}{e^{i\varphi }}}\sin(\alpha -\varphi )e^{i\alpha }=}$

${\displaystyle {}=-iz\sin(\alpha -\varphi )e^{i(\alpha -\varphi )}.}$

Заменим комплексную функцию синуса, используя формулу Эйлера:

${\displaystyle Z=-iz{\frac {e^{i(\alpha -\varphi )}-e^{-i(\alpha -\varphi )}}{2i}}e^{i(\alpha -\varphi )}=z{\frac {1-e^{i2(\alpha -\varphi )}}{2}}.}$

Снова используем одну из показательных форм комплексного числа

${\displaystyle e^{i\alpha }={\sqrt {\frac {z'}{\overline {z'}}}}}$ и ${\displaystyle e^{i\varphi }={\sqrt {\frac {z}{\bar {z}}}},}$

окончательно получим:

${\displaystyle Z=z{\frac {1-{\displaystyle {\frac {z'}{\overline {z'}}}{\frac {\bar {z}}{z}}}}{2}}={\frac {{\overline {z'}}z-z'{\bar {z}}}{2{\overline {z'}}}}.}$

Параметрические уравнения подеры в вещественном пространстве

Для параметрически заданной пространственной кривой ${\displaystyle (x(t),\;y(t),\;z(t))}$, имеющей производную ${\displaystyle (x'(t),\;y'(t),\;z'(t))}$, подера ${\displaystyle (X(t),\;Y(t),\;Z(t))}$ относительно точки ${\displaystyle (0,\;0,\;0)}$ задаётся следующими уравнениями^[3]:

${\displaystyle X=x-x'{\frac {xx'+yy'+zz'}{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},}$

${\displaystyle Y=y-y'{\frac {xx'+yy'+zz'}{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},}$

${\displaystyle Z=z-z'{\frac {xx'+yy'+zz'}{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}.}$

Прямоугольная система координат

Для кривой с неявным уравнением ${\displaystyle F(x,\;y)=0}$, имеющей частные производные ${\displaystyle F_{x}(x,\;y)}$ и ${\displaystyle F_{y}(x,\;y),}$ подера ${\displaystyle (X,\;Y)}$ относительно точки ${\displaystyle (a,\;b)}$ задаётся следующими параметрическими уравнениями^[41]:

${\displaystyle X={\frac {xF_{x}^{2}+(y-b)F_{x}F_{y}+aF_{y}^{2}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}=a+F_{x}{\frac {(x-a)F_{x}+(y-b)F_{y}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}},}$

${\displaystyle Y={\frac {bF_{x}^{2}+(x-a)F_{x}F_{y}+yF_{y}^{2}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}=b+F_{y}{\frac {(x-a)F_{x}+(y-b)F_{y}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}.}$

Для поверхности с неявным уравнением ${\displaystyle F(x,\;y,\;z)=0}$, имеющей частные производные ${\displaystyle F_{x}(x,\;y,\;z)}$, ${\displaystyle F_{y}(x,\;y,\;z)}$ и ${\displaystyle F_{z}(x,\;y,\;z)}$, подера ${\displaystyle (X,\;Y,\;Z)}$ относительно точки ${\displaystyle (0,\;0,\;0)}$ задаётся следующими параметрическими уравнениями^[3]:

${\displaystyle X=F_{x}{\frac {xF_{x}+yF_{y}+zF_{z}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}},}$

${\displaystyle Y=F_{y}{\frac {xF_{x}+yF_{y}+zF_{z}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}},}$

${\displaystyle Z=F_{z}{\frac {xF_{x}+yF_{y}+zF_{z}}{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}.}$

Подерная система координат

Самое простое уравнение подеры получается в подерной системе координат. Для кривой, имеющей подерное уравнение

${\displaystyle r=\pi (p),}$ или ${\displaystyle f(r,\;p)=0,}$

относительно некоторого полюса, подерное уравнение её подеры

${\displaystyle R^{2}=P\pi (R),}$ или ${\displaystyle f\left({\frac {R^{2}}{P}},\;R\right)=0,}$

относительно того же полюса^[42]

Доказательство^[39]

В соответствии с утверждения о пропорциональности подерных координат, радиальное ${\displaystyle r}$ и перпендикулярное ${\displaystyle p}$ расстояния исходной кривой относительно некоторого полюса пропорциональны соответствующим расстояниям её подеры относительно того же полюса:

${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {P}{p}},}$ или ${\displaystyle Rp=rP,R=p.}$

Отсюда получаем:

${\displaystyle R^{2}=rP,}$ ${\displaystyle R^{2}=P\pi (p),}$ ${\displaystyle R^{2}=P\pi (R),}$

или

${\displaystyle r=\pi (p),}$ ${\displaystyle {\frac {R^{2}}{P}}=\pi (R),}$ ${\displaystyle R^{2}=P\pi (R),}$

или

${\displaystyle f(r,\;p)=0,}$ ${\displaystyle f\left({\frac {R^{2}}{P}},\;R\right)=0.}$

Примеры подеры

Обзорная статья: Список кривых и их подер

Подера окружности

Основная статья: Окружность § Подера окружности

Подера окружности с полюсом в центре есть та же самая окружность. Подера окружности с полюсом вне центра есть улитка Паскаля, в частности, если полюс подеры лежит на самой окружности, то подера — кардиоида^[4].

• Подеры окружности
• 
  Гиперболическая улитка Паскаля — полюс подеры вне окружности
• 
  Кардиоида — полюс подеры на окружности
• 
  Эллиптическая улитка Паскаля — полюс подеры внутри окружности, но не в её центре

Найдём уравнение подеры окружности. Уравнение окружности в комплексном параметрическом виде

${\displaystyle z=z_{0}+Re^{it},}$

где ${\displaystyle z_{0}}$ — постоянный комплексный центр окружности; ${\displaystyle R}$ — постоянный вещественный радиус окружности; ${\displaystyle t}$ — вещественный параметр. Получаем:

${\displaystyle z'=Rie^{it},}$

${\displaystyle {\bar {z}}=z_{0}+Re^{-it},}$

${\displaystyle {\bar {z}}'=-Rie^{-it},}$

и уравнение подеры окружности с полюсом ${\displaystyle z_{1}}$, то есть улитки Паскаля^[37]:

${\displaystyle Z(t)={\frac {-(z_{0}-z_{1}+Re^{it})iRe^{-it}-({\overline {z_{0}-z_{1}}}+Re^{-it})iRe^{it}}{-i2Re^{-it}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}(z_{0}-z_{1}+Re^{it}+({\overline {z_{0}-z_{1}}}+Re^{-it})e^{i2t})=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}(z_{0}-z_{1}+2Re^{it}+{\overline {z_{0}-z_{1}}}e^{i2t})=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}(Le^{i\varphi }+2Re^{it}+Le^{-i\varphi }e^{i2t}).}$

Уравнение улитки Паскаля упростится, если прямая ${\displaystyle z_{0}z_{1}}$ параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть ${\displaystyle \varphi =0}$ или ${\displaystyle \varphi =\pi :}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}(\pm L+2Re^{it}\pm Le^{i2t}).}$

Рассмотрим два частных случая подеры^[37]:

• если ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{0}}$ совпадают, то есть ${\displaystyle L=0,}$ подера окружности есть сама окружность с центром в начале координат — полюсе подеры:

${\displaystyle Z(t)=Re^{it};}$

• если ${\displaystyle z_{1}}$ лежит на окружности, то есть ${\displaystyle L=R,}$ имеем уравнение кардиоиды с центром в каспе — полюсе подеры:

${\displaystyle Z(t)={\frac {R}{2}}(e^{i\varphi }+2e^{it}+e^{-i\varphi }e^{i2t});}$

• если при этом прямая ${\displaystyle z_{0}z_{1}}$ параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть ${\displaystyle \varphi =0}$ или ${\displaystyle \varphi =\pi ,}$ то уравнение кардиоиды

${\displaystyle Z(t)={\frac {R}{2}}(\pm 1+2e^{it}\pm e^{i2t})=}$

${\displaystyle {}={\frac {\pm R}{2}}(1\pm e^{it})^{2};}$

• а если при этом окружность имеет радиус ${\displaystyle R=1}$ и ${\displaystyle z_{1}}$ слева от ${\displaystyle z_{0}}$, то самое простое уравнение кардиоиды

${\displaystyle {}={\frac {1}{2}}(1+e^{it})^{2}.}$

Подера параболы

Основная статья: Парабола § Подера параболы

Косая конхоида Слюза — подера параболы

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости^[6].

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде^[6]:

${\displaystyle y^{2}=4px,}$ или ${\displaystyle x^{2}=4py,}$

где ${\displaystyle p}$ — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы ${\displaystyle y^{2}=4px}$ относительно произвольного полюса ${\displaystyle (a,\;b)}$ есть дефективная гипербола с двойной точкой ${\displaystyle (a,\;b)}$, асимптотой ${\displaystyle a-p}$ и следующим уравнением^[6]:

${\displaystyle (x-a)(y(y-b)+x(x-a))+p(y-b)^{2}=0.}$

Подера эллипса

Подера эллипса

• относительно его фокуса — окружность,
• относительно центра эллипса — лемниската Бута.

• Подеры эллипса
• 
  Окружность ${\displaystyle {\scriptstyle \left(x+{\frac {16}{3}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {32}{3}}\right)^{2}}}$ — полюс подеры в фокусе эллипса ${\displaystyle {\scriptstyle \left({\frac {3}{32}}\right)^{2}\left(x+{\frac {16}{3}}\right)^{2}+{\frac {3}{16^{2}}}y^{2}=1}}$
• 
  Лемниската Бута — полюс подеры в центре эллипса. Здесь a=2 b=1, уравнение 4x²+y²=(x²+y²)²

См. также

• Подерный треугольник
• Подерная окружность

Примечания

1. Подера, 1988.
2. Подера и антиподера, 1975.
3. Иванов А. Б. Подера, 1984.
4. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 134.
5. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 8. Рациональные циркулярные кривые, с. 63.
6. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 64.
7. Коренцова М. М. Колин Маклорен. 1698—1746, 1998, Знакомство с Ньютоном. Абердин, с. 13. Органическое описание кривых, с. 131.
8. Ferréol Robert. Pedal of a Curve, 2017.
9. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия, 1981, с. 33.
10. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 1. Подэры, с. 282.
11. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988, 1. Педальная кривая, с. 48—49. 5.32. Ортотомические, педальные и двойственные кривые, с. 114—116.
12. Подерный (педальный) треугольник, 2004—….
13. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 134—135.
14. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 152.
15. Maclaurin C. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura…, 1718.
16. Article. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura…, 2024.
17. Коренцова М. М. Колин Маклорен. 1698—1746, 1998, Знакомство с Ньютоном. Абердин, с. 11—12.
18. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 2.4. Pedal Curves (Maclaurin, 1718), p. 46.
19. Коренцова М. М. Колин Маклорен. 1698—1746, 1998, Органическое описание кривых, с. 131.
20. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 2; 2.4. Pedal Curves (Maclaurin, 1718), p. 46.
21. Weisstein Eric W. Pedal Curve, 2024.
22. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 2. Негативные подэры, с. 284.
23. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 2.4. Pedal curves, p. 46.
24. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 136.
25. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 2.
26. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988, 7.21. Упражнения. 6, с. 176—177.
27. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988, Простые особенности, с. 236.
28. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 3. Подоиды, с. 285.
29. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988, 5.32. Ортотомические, педальные и двойственные кривые, с. 114.
30. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 3. Подоиды, с. 284—285.
31. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 2.10. Caustic (Tschirnhausen, Huygens, 1680), p. 60.
32. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988, 7.21. Упражнения. 5, с. 176.
33. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности, 1988, 7.14. Упражнения. 2. Антиортотомики, с. 161.
34. Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 2006, 4.7 Exercises. 16, p. 117.
35. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 151.
36. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 2.4. Pedal curves, p. 49.
37. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 150.
38. Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 2006, 4.6 Pedal Curves, p. 113.
39. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 2.4. Pedal curves, p. 48—49.
40. Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 2006, 4.7 Exercises. 15, p. 117.
41. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997.
42. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 49.

Источники

• Брус Дж., Джиблин П.^[англ.] Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей: Пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда. М.: Мир, 1988. 262 с. (Современная математика. Вводные курсы) ISBN 5-03-001194-3. [J. William Bruce, Peter G. Giblin. Curves and Singularities. A geometrical introduction to singularity theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.]
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. С. А. Каменецкого. 3-е изд. М.: Наука, 1981. 144 с.
• Иванов А. Б. Подера // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская энциклопедия», 1984. 1216 стб. Стб. 370.
• Коренцова М. М. Колин Маклорен. 1698—1746. М.: Наука, 1998. 144 с. (Научно-биографическая литература.) ISBN 5-02-003691-9.
• Подера // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с. С. 465.
• Подера и антиподера // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. С. 109.
• Подерный (педальный) треугольник // Задачи. Проект МЦНМО при участии школы 57, 2004—…. Архивная копия от 2 октября 2023 на Wayback Machine
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с.
• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с. ISBN 5-7036-0027-8.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с. С. 49—158.
• Article. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura…. 2024 // ROYAL SOCIETY PUBLISHING. Philosophical Transactions. Архивная копия от 25 октября 2019 на Wayback Machine
• Ferréol Robert. Pedal of a Curve // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 10 апреля 2023 на Wayback Machine
• Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. Third Edition by Elsa Abbena and Simon Salamon. Studies in Advanced Mathematics: Chapman and Hall/CRC, 2006. 982 p.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
• Maclaurin C. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura; ubi plurimae Series Curvarum Infinitae vel rectis mensurantur vel ad Simpliciores Curvas reducuntur. Autore Colin Maclaurin, in Collegio novo Abredonensi Matheseos Professore // Philosophical Transactions of the Royal Society. 30 June 1718. Volume 30, Issue 356. P. 803–812.
• Weisstein Eric W. Pedal Curve // Wolfram MathWorld Архивная копия от 5 декабря 2022 на Wayback Machine
• Zwikker C.^[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications^[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.