Эксцентриситет

Запрос «Директриса (геометрия)» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Эллипс (e=½), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом ${\displaystyle F}$ и директрисой: ${\displaystyle FP=e\cdot PP'}$

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается ${\displaystyle e}$ или ${\displaystyle \varepsilon }$.

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку ${\displaystyle F}$ и прямую ${\displaystyle L}$ и зададим вещественное число ${\displaystyle e>0}$; тогда геометрическое место точек ${\displaystyle P}$, для которых отношение расстояний до точки ${\displaystyle F}$ и до прямой ${\displaystyle L}$ равно ${\displaystyle e}$, является коническим сечением; то есть, если ${\displaystyle P'}$ есть проекция ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle L}$, то

${\displaystyle FP=e\cdot PP'}$.

Это число ${\displaystyle e}$ называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения

• Точка ${\displaystyle F}$ называется фокусом конического сечения.

• Прямая ${\displaystyle L}$ называется директрисой.

Коническое сечение в полярных координатах

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}}$,

где ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет, а ${\displaystyle \ell }$ — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).

Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.

Свойства

Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, составляющие одну поверхность третьего порядка (являясь её горизонтальными сечениями). Её верхняя часть («гиперболическая») «связана» с нижней частью («эллиптической») параболой с уравнением ${\displaystyle z=1-x^{2}}$, получающейся при сечении плоскостью y=0

• В зависимости от эксцентриситета, получится:
  • при ${\displaystyle e>1}$ — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
  • при ${\displaystyle e=1}$ — парабола;
  • при ${\displaystyle 0\leq e<1}$ — эллипс;
  • для окружности полагают ${\displaystyle e=0}$.

• Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году^[1]) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра^[2].
• Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой (${\displaystyle b}$) и большой (${\displaystyle a}$) полуосей:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$.

• Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой (${\displaystyle b}$) и действительной (${\displaystyle a}$) полуосей:

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$.

• Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением ${\displaystyle f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0}$, равен ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

• Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- (${\displaystyle r_{\mathrm {per} }}$) и апоцентров (${\displaystyle r_{\mathrm {ap} }}$):

${\displaystyle e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}}$.

См. также

• Эксцентриситет орбиты
• Коническая константа

Примечания

1. John Bonnycastle. An Introduction to Astronomy. — London, 1787. — С. 90.
2. The Oxford English Dictionary (англ.). — 2nd ed. — Oxford: Oxford University Press, 1989. — Vol. V. — P. 50.

Литература

• Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Ссылки

• «Эксцентриситет» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг.