Вырождение (математика)

Вырожденными называют математические объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своём классе, то есть такие, которые, даже будучи взятыми вместе, не дают полного представления о всём классе. Предельно простые объекты называют тривиальными.

Примеры в геометрии

• вырожденный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на одной прямой^[1].
  Эквивалентные формулировки:

• вырожденный треугольник — треугольник, площадь которого равна нулю;
• вырожденный треугольник — треугольник, для которого неравенство треугольника обращается в равенство.

• двуугольник — многоугольник с двумя углами, его стороны лежат на одной прямой, а угол равен 0°. Из него также образуются вырожденные звёздчатые многоугольники.
• Вырожденное коническое сечение^[англ.], уравнение является приводимым многочленом.

Примеры в линейной алгебре

• вырожденная матрица — это матрица, определитель которой равен нулю^[2][3];
• вырожденный оператор — оператор, отображающий всё пространство на некоторое его собственное подпространство^[4][3];

Другие примеры

• вырожденное решение — решение задачи, в котором число ненулевых элементов меньше «нормального»
• вырожденная точка действительнозначной дважды дифференцируемой функции — это её критическая точка, в которой вторая производная равна нулю;
• вырожденный узел (дифференциальных уравнений) — все без исключения интегральные кривые проходят через особую точку, касаясь одного направления^[5].
• вырожденные интегральные уравнения^[6].
• вырожденные эллиптические координаты^[7].
• вырожденная гипергеометрическая функция получается в результате предельного перехода в решении дифференциального уравнения Римана^[8].
• вырожденные гипергеометрические ряды^[9].
• вырожденное ядро — ядро определённого вида интегрального уравнения Вольтерры^[10]
• метод вырожденных ядер — один из методов построения аппроксимирующего уравнения для приближённого решения некоторых видов интегральных уравнений^[2].

Примечания

1. Определение треугольника может исключать вырожденный случай.
2. Энциклопедический словарь, 1988, с. 130.
3. Математический словарь, 1989.
4. Энциклопедический словарь, 1988, с. 318.
5. Фаддеев, 1998, с. 618.
6. Фаддеев, 1998, с. 219.
7. Фаддеев, 1998, с. 289.
8. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1071.
9. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1081.
10. Математический словарь, 2007, с. 48.

Литература

• В.Г. Воднев, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович. Математический словарь высшей школы. — Москва: МПИ, 1989.
• Ю.А. Каазик. Математический словарь. — Москва: Физматлит, 2007. — ISBN 978-5-9221-0847-8.

• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов,сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963.
• Математический энциклопедический словарь / Ю.В. Прохоров. — Москва, 1988.
• Математическая физика (энциклопедия) / Л.Д. Фаддеев. — Москва, 1998. — ISBN 5-85270-304-4.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Degenerate (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.