Циклоида

Точка на катящейся окружности рисует циклоиду

Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής, «кругообразный»[1]) — плоская трансцендентная кривая.

Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности, катящейся без скольжения по прямой. Далее всюду обозначает радиус производящей окружности.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса . Циклоида описывается:

  • параметрически
    .
    Рассмотрим окружность с центром и радиусом , которая совершила поворот, равномерно двигаясь по плоскости. Пусть точка изначально находилась в начале координат и совершила перемещение, находясь на окружности.
    Проведём радиусы к двум точкам: к точке касания окружностью оси и к точке . Пусть угол между двумя радиусами будет (он же будет углом поворота). Проведём перпендикуляр из точки к радиусу, направленному к точке касания.
    Обозначим через расстояние от центра окружности до перпендикуляра (для этого опустим перпендикуляр на  ; ), а через — расстояние до точки к оси . Из рисунка ясно, что . Из прямоугольного треугольника  : . Отсюда , а — это и есть координата исходной точки. Следовательно .
    Построим проекцию точки на ось и обозначим её . . Заметим, что окружность катится без скольжения, поэтому точка проходит расстояние, равное дуге ; также , но , следовательно . Из прямоугольного треугольника  : . Следовательно . Что и требовалось доказать.
  • уравнением в декартовых координатах
    .
  • как решение дифференциального уравнения
    .

Свойства

Таутохронность циклоиды
Колебания с циклоидным регулятором.

Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом . За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида , где  — произвольное целое число.

У отдельной арки циклоиды есть ось симметрии, но нет центра симметрии.

Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.

Длина арки циклоиды равна . Другими словами, длина одной ветви циклоиды равна учетверённому диаметру производящей окружности. Это свойство открыл Кристофер Рен в 1658 году[3]

Зависимость длины дуги циклоиды () от параметра следующая[4]: .

Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды.[5] Математически этот факт первым доказал Роберваль около 1634 года с помощью метода неделимых.

Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен .

«Перевёрнутая» циклоида является кривой наискорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

Два нижеследующих свойства, открытые Гюйгенсом, были им использованы для создания точных механических часов.

Площадь поверхности, образованной вращением арки циклоиды вокруг её основания, равна Она превышает двойную площадь циклоиды (площадь осевого сечения) в раза[6].

Вариации и обобщения

Циклоиду можно рассматривать как:

  • разновидность трохоиды в случае, когда производящая окружность катится по прямой;
  • предельный случай циклогона[англ.], когда число сторон многоугольника увеличивается до бесконечности.

Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида (ср. построение лемнискаты Бернулли).

Исторический очерк

Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых (то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от ), циклоида — первая из исследованных.

Паскаль писал о циклоиде[7][8]:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса...

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Якоб и Иоганн Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

Применение

Один из самых популярных типов шестерёнок — с циклоидальными зубьями. Циклоидальные профили чаще встречаются в часовых механизмах[9]. Циклоидальный профиль имеют многие типы кулачков, эксцентриков и иных деталей машин.

Примечания

  1. Циклоида // Советский энциклопедический словарь. — 2-е изд.. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — С. 1468. — 1600 с.
  2. Математическая энциклопедия, 1982.
  3. Веров, 1975.
  4. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 261. — 695 с. — 8000 экз. — ISBN 5-06-003955-2.
  5. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 213. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  6. Выгодский, 2019, с. 496—497.
  7. Кляус Е. М., Погребысский И. Б., Франкфурт У. Й. Паскаль. — М.: Наука, 1971. — С. 191. — (Научно-биографическая литература). — 10 000 экз.
  8. Pascal, Blaise. Histoire de la roulette, appellée autrement la trochoïde, ou la cycloïde, où l'on rapporte par quels degrez on est arrivé à la connoissance de la nature de cette ligne Архивная копия от 4 апреля 2017 на Wayback Machine. 10 octobre 1658. P.1.
  9. Зубчатые колёса / Статьи — Математическая составляющая. Дата обращения: 5 апреля 2023. Архивировано 5 апреля 2023 года.

Литература

Ссылки

Read other articles:

Government medical research center in Kinshasa, Democratic Republic of the Congo The Institut National de la Recherche Biomédicale (INRB) is the national medical research organization of the Democratic Republic of the Congo.[1] The responsible ministry is the Ministry of Scientific Research and Technology.[2] The National Biomedical Research Institute (INRB) was founded in 1984, it is a 70,000 m² establishment. It has been a collaborating center of the World Health Organizat...

 

この項目では、行政官庁について説明しています。その庁舎については「三重県庁舎」をご覧ください。 三重県の行政機関三重県庁 三重県庁舎本庁舎役職知事 一見勝之副知事 服部浩廣田恵子組織知事部局 防災対策部、戦略企画部、総務部、医療保健部、子ども・福祉部、環境生活部、地域連携部、国体・全国障害者スポーツ大会局、農林水産部、雇用経済部、県土整...

 

خطوط دلتا الجوية الرحلة 1989 (شاهد الرحلة) الطائرة المنكوبة نفسها في مطار مانشستر الدولي في 1 أغسطس 2010 ملخص الحادث التاريخ 11 سبتمبر 2001 نوع الحادث اختطاف الموقع مطار كليفلاند هوبكنز الدولي ، كليفلاند ,  الولايات المتحدة الركاب 150 الطاقم 5 الجرحى 0 الوفيات 0 الناجون 155 (جميعهم) ال

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Соболь. Соболь Охоронний статус Найменший ризик (МСОП 3.1) Біологічна класифікація Царство: Тварини (Animalia) Тип: Хордові (Chordata) Клада: Синапсиди (Synapsida) Клас: Ссавці (Mammalia) Ряд: Хижі (Carnivora) Родина: Мустелові (Mustelidae) Підродин...

 

Ayyapan Ayyappan (Sanskrit: अय्यप्पन) es una deidad hindú adorada en numerosos santuarios de toda la India, especialmente por los tamiles en Kerala. En Kulathupuzha, es adorada como un niño; en Achenkovil, es adorada junto a sus consortes Pushkala y Poorna, y en Sabarimala, al oeste de los Ghats occidentales, es adorada como un asceta, un célibe que medita en solitario. El nombre de Ayyappan se usa como forma respetuosa de dirigirse a la deidad en la lengua malayalam, propi...

 

Rumah panggung Aceh. Rumah Panggung Kajang Lako, Jambi Rumah panggung adalah rumah yang dibangun di atas permukaan tanah atau air. Rumah sejenis ini dibangun sebagai perlindungan terhadap banjir.[1] Sejarah Perekaan ulang rumah panggung Jerman dari Zaman Perunggu di Danau Constance, Pfahlbaumuseum Unteruhldingen, Jerman. Di zaman Neolitikum dan Perunggu, permukiman rumah panggung jamak ditemukan di daerah pegunungan Alpen dan Pianura Padana.[2] Contoh sisa kebudayaan tersebut ...

American college football season 1951 Illinois Fighting Illini footballCo-national champion (Boand)Big Ten championRose Bowl championRose Bowl, W 40–7 vs. StanfordConferenceBig Ten ConferenceRankingCoachesNo. 3APNo. 4Record9–0–1 (5–0–1 Big Ten)Head coachRay Eliot (10th season)MVPChuck BoerioCaptainChuck StudleyHome stadiumMemorial StadiumSeasons← 19501952 → 1951 Big Ten Conference football standings vte Conf Overall Team W   L   T ...

 

Liezel Huber (2001-presente) Liezel Horn (até 2001) País  Estados Unidos (2007–2017) África do Sul (1993–2007) Residência Houston, Texas, Estados Unidos Data de nascimento 21 de agosto de 1976 (47 anos) Local de nasc. Durban, África do Sul Altura 1,80m Profissionalização 1993 Aposentadoria 2017[1] Prize money US$ 6.287.881 Simples Vitórias-Derrotas 175-159 Melhor ranking 131ª (29/03/1999) Open da Austrália Q3 (2002) Roland Garros 2R (1998) Wimbledon Q2 (2002) US O...

 

Irish lawyer and writer (1819–1880) Edward Kenealy at the Tichborne trial Edward Vaughan Hyde Kenealy (2 July 1819 – 16 April 1880) was an Irish barrister and writer. He is best remembered as counsel for the Tichborne claimant[1] and the eccentric and disturbed conduct of the trial that led to his ruin. Early life He was born on Nile Street (now Sheares Street), Cork, the son of a local merchant. He was educated at Trinity College Dublin, and was called to the Irish Bar in 18...

1940 film by Frank Woodruff Curtain CallOriginal theatrical posterDirected byFrank WoodruffScreenplay byDalton TrumboStory byHoward J. GreenProduced byHoward BenedictStarringBarbara Read Alan Mowbray Donald MacBrideCinematographyRussell MettyEdited byHarry MarkerMusic byRoy WebbProductioncompanyRKO Radio PicturesDistributed byRKO Radio PicturesRelease date April 26, 1940 (1940-04-26) (US) [1]Running time63 minutesCountryUnited StatesLanguageEnglish Curtain Call is a...

 

В Википедии есть статьи о других людях с именем Аполлоний. Аполлоний Пергскийдр.-греч. Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος Дата рождения 262 до н. э.(-262) Место рождения Перге, Памфилия Дата смерти 190 до н. э.(-190) Место смерти Александрия Научная сфера геометрия Научный руководитель Евклид...

 

6th Territorial Governor of Washington George Edward Cole6th Governor of Washington TerritoryIn officeJanuary 8, 1867 – March 4, 1867Appointed byAndrew JohnsonPreceded byWilliam PickeringSucceeded byMarshall F. MooreDelegate to the U.S. House of Representatives from Washington Territory's at-large districtIn officeMarch 4, 1863 – March 3, 1865Preceded byWilliam H. WallaceSucceeded byArthur A. Denny Personal detailsBorn(1826-12-23)December 23, 1826Trenton, New YorkDiedDec...

Mayapada GroupJenisSwastaIndustriKonglomeratDidirikan1986; 36 tahun lalu (1986)PendiriDato Sri TahirKantorpusatJakarta, IndonesiaTokohkunciDato Sri TahirProdukMediaRitelPropertiKesehatanYayasanJasaKeuanganSitus webwww.mayapadagroup.com Mayapada Group adalah konglomerat berbasis di Indonesia yang didirikan oleh Dato Sri Tahir pada tahun 1986. Tahir memulai ini dengan bisnis pakaian dan manufaktur tekstil, dan empat tahun kemudian, ia mendirikan Bank Mayapada. Sejarah Industri ritel melalu...

 

Eskudo sa Rehiyon sa Piemonte Bandera sa Piemonte Mapa nga nagpakita kon asa nahimutang ang mga lalawigan sa Rehiyon sa Piemonte Ang Piemonte (sa Piniemontese ug Inutsitan: Piemont; sa Prinanses: Piémont; sa Kinatsila: Piamonte; sa Iningles: Piedmont) maoy usa (1) sa kawhaan (20) ka rehiyon sa Italya. An ulohan kini maoy ang Turin. Mga lalawigan sa Piemonte Alessandria Asti Biella Cuneo Novara Turin Verbano-Cusio-Ossola Vercelli thuMga Rehiyon sa Italya    AbruzzoWalog sa Aost...

 

Musician Sharon AguilarBackground informationBirth nameSharon Isabel BorregoBorn1986 (age 36–37)PanamaGenresPop rock, rock, funkOccupation(s)MusicianInstrument(s)Guitar, violin, mandolinYears active2008–presentMember ofScarlet FeverWebsitefacebook.com/SharonAguilarRocksMusical artist Sharon Aguilar (born 1986) is an American multi-instrumentalist, singer, and songwriter. She toured with 2NE1 in 2012, and has both founded and performed with several other groups. She played lead gu...

2019 filmAppamovie posterDirected byAnmol GurungProduced byRuden Sada LepchaStarringDayahang Rai Siddhant Raj Tamang Allona Kabo Lepcha Tulsi Ghimire Aruna KarkiCinematographyShailendra D. KarkiRelease dates 28 June 2019 (2019-06-28) (Nepal) 5 July 2019 (2019-07-05) (India) CountriesIndia and NepalLanguageNepali Appa (Nepali: आप्पा; English: Father) is a Nepali-language film written and directed by Anmol Gurung and produced by Ruden Sada Lepcha....

 

1990 film by Bob Clark Loose CannonsTheatrical release posterDirected byBob ClarkWritten byRichard Christian MathesonRichard MathesonBob ClarkProduced byAaron SpellingAlan GriesmanStarring Gene Hackman Dan Aykroyd Dom DeLuise Ronny Cox CinematographyReginald H. MorrisEdited byStan ColeMusic byPaul ZazaDistributed byTriStar PicturesRelease date February 9, 1990 (1990-02-09) Running time94 minutesCountryUnited StatesLanguageEnglishBudget$15 millionBox office$5.5 million[1]...

 

1792 siege during the War of the First Coalition Siege of MainzPart of the War of the First CoalitionThe siege of Mainz, by Georg Melchior Kraus.Date18–21 October 1792LocationMainz, Electorate of Mainz50°00′00″N 8°16′00″E / 50.0000°N 8.2667°E / 50.0000; 8.2667Result French victoryTerritorialchanges French occupation of MainzBelligerents France Electorate of MainzCommanders and leaders Adam Philippe Franz von AlbiniUnits involved Army of the Rhine Voluntee...

Заява Президента Азербайджанської Республіки, Прем'єр-міністра Республіки Вірменія та Президента Російської Федерації Путін та Алієв підписують мирну угодуТип міжнародний договір і Перемир'яПідготовлено 2020Підписано 9 листопада 2020Місце Баку Єреван МоскваПідписа...

 

此條目没有列出任何参考或来源。 (2010年7月8日)維基百科所有的內容都應該可供查證。请协助補充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除。 《裸岛》是新藤兼人1960年导演的电影,采用黑白摄影,全片无任何对白。本片剧本问世后,因为在经济效益方面要冒很大风险,没有一家电影企业敢于问津。最后由导演新藤个人出资完成了拍摄。该片获...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!