Плосконосый многогранник

Плосконосый многогранник — это многогранник, полученный альтернированием^[англ.] (частичным усечением) соответствующего всеусечённого^[англ.] или усечённого многогранника, в зависимости от определения. Некоторые (не все) авторы включают в плосконосые многогранники антипризмы, так как они получаются таким построением из вырожденного «многогранника» всего с двумя гранями (диэдра).

Хиральные плосконосые многогранники не всегда имеют зеркальную симметрию, а потому имеют две зеркальносимметричные формы, которые являются зеркальным отражением друг друга. Их группы симметрии все являются точечными группами.

Например, плосконосый куб:

Плосконосые многогранники имеют символ Витхоффа^[англ.] |p q r и, при расширении, конфигурацию вершины 3.p.3.q.3.r. Обратноплосконосые многогранники (подмножество плосконосых многогранников, содержащие большой икосаэдр, малый обратноплосконосый икосододекаэдр^[англ.] и большой обратноплосконосый икосододекаэдр), также имеют эту форму символа Витхоффа, но их конфигурация вершин вместо этого равна ^{(3.−p.3.−q.3.−r)}/₂.

Список плосконосых многогранников

Однородные

Существует 12 однородных плосконосых многогранников, не включая антипризм, икосаэдра как плосконосого тетраэдра, большого икосаэдра как обратноплосконого тетраэдра и большого биплосконосого биромбоикосододекаэдра^[англ.], известного также как тело Скиллинга.

Когда треугольник Шварца плосконосого многогранника является равнобедренным, плосконосый многогранник не является хиральным. Это имеет место для антипризм, икосаэдра, большого икосаэдра, малого плосконосого икосоикосододекаэдра^[англ.] и малого обратноплосконосого икосододекаэдра^[англ.].

На рисунке показан результат операции «Snub» (показан искривлённый плосконосый многогранник, топологически эквивалентный однородной версии, полученной из геометрического альтернирования родительского однородного всеусечённого многогранника). Где зелёные грани отсутствуют, грани, полученные путём альтернации, окрашены в красный и жёлтый цвета, а треугольники отреза окрашены в синий цвет. Там, где зелёные грани присутствуют (только для плосконосого икосододекододекаэдра^[англ.] и большого плосконосого додекоикосододекаэдра^[англ.]), грани, полученные альтернацией, окрашены в красный, жёлтый и синий цвета, в то время как треугольники отреза окрашены в зелёный цвет.

Плосконосый многогранника	Рисунок	Исходный всеусечённый многогранник	Рисунок	Результат операции «Snub»	Группа симметрии	Символ Витхоффа Описание вершин
Икосаэдр (плосконосый тетраэдр)		Усечённый октаэдр			Ih (Th)	| 3 3 2 3.3.3.3.3
Большой икосаэдр (обратноплосконосый тетраэдр)		Усечённый октаэдр			Ih (Th)	| 2 ^3/2 ^3/2 ^(3.3.3.3.3)/2
Плосконосый куб или плосконосый кубооктаэдр		Усечённый кубооктаэдр			O	| 4 3 2 3.3.3.3.4
Плосконосый додекаэдр или плосконосый икосододекаэдр		Усечённый икосододекаэдр			I	| 5 3 2 3.3.3.3.5
Малый плосконосый икосоикосододекаэдр^[англ.]		Двукратно накрытый усечённый икосаэдр			Ih	| 3 3 ^5/2 3.3.3.3.3.^5/2
Плосконосый додекододекаэдр^[англ.]		Малый ромбододекаэдр^[англ.] с дополнительными 12{^10/2} гранями			I	| 5 ^5/2 2 3.3.^5/2.3.5
Плосконосый икосододекододекаэдр^[англ.]		Икосоусечённый додекододекаэдр^[англ.]			I	| 5 3 ^5/3 3.^5/3.3.3.3.5
Большой плосконосый икосододекаэдр^[англ.]		Ромбоикосаэдр^[англ.] с дополнительными 12{^10/2} гранями			I	| 3 ^5/2 2 3.3.^5/2.3.3
Вывернутый плосконосый додекододекаэдр^[англ.]		Усечённый додекододекаэдр^[англ.]			I	| 5 2 ^5/3 3.^5/3.3.3.3.5
Большой плосконосый додекоикосододекаэдр^[англ.]		Большой додекоикосаэдр^[англ.] с дополнительными 12{^10/2} гранями		нет рисунка	I	| 3 ^5/2 ^5/3 3.^5/3.3.^5/2.3.3
Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр^[англ.]		Большой усечённый икосододекаэдр^[англ.]			I	| 3 2 ^5/3 3.^5/3.3.3.3
Малый обратноплосконосый икосододекаэдр^[англ.]		Двукратно накрытый усечённый икосаэдр		нет рисунка	Ih	| ^5/2 ^3/2 ^3/2 ^(3.3.3.3.3.5/2)/2
Большой обратноплосконосый икосододекаэдр		Большой ромбододекаэдр^[англ.] с дополнительными 20{^6/2} гранями		нет рисунка	I	| 2 ^5/3 ^3/2 ^(3.3.3.5/2.3)/2
Большой биромбоикосододекаэдр^[англ.]		—	—	—	Ih	| ^3/2 ^5/3 3 ^5/2 ^(4.3/2.4.5/3.4.3.4.5/2)/2
большой биплосконосый биромбоикосододекаэдр^[англ.]		—	—	—	Ih	| (^3/2) ^5/3 (3) ^5/2 ^(3/2.3/2.3/2.4.5/3.4.3.3.3.4.5/2.4)/2

Примечания:

• В списке только три выпуклых тела — Икосаэдр, плосконосый куб и плосконосый додекаэдр. Они получаются отсечением вершин от усечённого октаэдра, усечённого кубооктаэдра и усечённого икосододекаэдра — трёх выпуклых усечённых квазиправильных многогранников.
• Единственным плосконосым многогранником с хиральной октаэдральной группой^[англ.] симметрии является плосконосый куб.
• Только икосаэдр и большой икосаэдр являются также правильными многогранниками. Они также являются дельтаэдрами.
• Только икосаэдр, большой икосаэдр, малый плосконосый икосоикосододекаэдр^[англ.], малый обратноплосконосый икосододекаэдр^[англ.], большой биромбоикосододекаэдр^[англ.] и большой биплосконосый биромбоикосододекаэдр^[англ.] имеют также зеркальные симметрии.

Существует также бесконечное множество антипризм. Они образуются из призм, усечённых осоэдров, вырожденных правильных многогранников. Многогранники до шестиугольных перечислены ниже. На рисунках показан результат операции «Snub», грани, полученные альтернацией (оснований призмы) показаны красным цветом, а треугольники, полученные в результате отсечения, показаны жёлтым. Исключением является тетраэдр, у которого все грани показаны как красные треугольники отсечения, поскольку альтернация квадратных оснований куба приводит к вырожденным двуугольникам в качестве граней.

Плосконосый многогранник	Рисунок	Исходный всеусечённый многогранник	Рисунок	Плосконосый вариант	Группа симметрии	Символ Витхоффа Описание вершин
Тетраэдр		Куб			Td (D2d)	| 2 2 2 3.3.3
Октаэдр		Шестиугольная призма			Oh (D3d)	| 3 2 2 3.3.3.3
Квадратная антипризма		Восьмиугольная призма			D4d	| 4 2 2 3.4.3.3
Пятиугольная антипризма		Десятиугольная призма			D5d	| 5 2 2 3.5.3.3
Пентаграммная антипризма^[англ.]		Дважды накрытая пятиугольная призма			D5h	| ^5/2 2 2 3.^5/2.3.3
Пентаграммная скрещенная антипризма^[англ.]		Декаграммная призма^[англ.]			D5d	| 2 2 ^5/3 3.^5/3.3.3
Шестиугольная антипризма		Двенадцатиугольная призма^[англ.]			D6d	| 6 2 2 3.6.3.3

Примечания:

• Два из этих многогранников можно построить из первых двух плосконосых многогранников в списке выше, начинающемся с икосаэдра: пятиугольная антипризма является дважды противоположно отсеченным икосаэдром, а пентаграммная скрещенная антипризма^[англ.] является дважды противоположно отсеченным большим икосаэдром.

Неоднородные

Два правильногранных многогранника являются плосконосыми многогранниками: плосконосый двуклиноид и плосконосая квадратная антипризма. Ни один из этих многогранников не является хиральным.

Плосконосый многогранник	Рисунок	Исходный многогранник	Рисунок	Группа симметрии
Плосконосый двуклиноид		Равногранный тетраэдр		D2d
Плосконосая квадратная антипризма		Квадратная антипризма		D4d

Примечания

Литература

• Harold Scott MacDonald Coxeter, Longuet-Higgins M. S., Miller J. C. P. Uniform polyhedral // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1954. — Т. 246. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — JSTOR 91532.
• Magnus Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — ISBN 0-521-09859-9.
  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — М.: «Мир», 1974.
• Skilling J. The complete set of uniform polyhedral // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278. — С. 111–135. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1975.0022. — JSTOR 74475.
• Mäder R. E. Uniform Polyhedra // Mathematica J.. — 1993. — Т. 3. — С. 48—57.

Операции над многогранниками

Основа	Усечение	Полное усечение	Глубокое усечение^[англ.]	Двойствен- ность	Растяжение	Всеусечение^[англ.]	Альтернация^[англ.]
t0{p, q} {p, q}	t01{p,q}^[англ.] t{p, q}	t1{p,q} r{p, q}	t12{p,q}^[англ.] 2t{p, q}	t2{p, q} 2r{p, q}	t02{p,q}^[англ.] rr{p, q}	t012{p,q}^[англ.] tr{p, q}	ht0{p,q}^[англ.] h{q, p}	ht12{p,q} s{q, p}	ht012{p,q} sr{p, q}