Na matemática, uma função identidade (ou função de identidade), também chamada de relação de identidade ou mapa de identidade ou transformação de identidade, é uma função que sempre retorna o mesmo valor usado como argumento. Nas equações, a função é dada por f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} . Trata-se de uma função bijetiva.[1]
Formalmente, se X {\displaystyle X} é um conjunto, a função de identidade f {\displaystyle f} em X {\displaystyle X} é definida para ser a função com domínio e contradomínio X {\displaystyle X} definida por:
f : X → X x ↦ x {\displaystyle {\begin{matrix}f:&X&\rightarrow &X\\&x&\mapsto &x\end{matrix}}}
ou seja, f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} para todos os elementos x {\displaystyle x} em X {\displaystyle X} .[2]
Em outras palavras, o valor da função f ( x ) {\displaystyle f(x)} em X {\displaystyle X} (isto é, o contradomínio) é sempre o mesmo elemento de entrada x {\displaystyle x} de X {\displaystyle X} (agora considerado como o domínio). A função de identidade em X {\displaystyle X} é claramente uma função injetiva, bem como uma função sobrejetiva, por isso também é bijetiva.[3]
A função de identidade f {\displaystyle f} em X {\displaystyle X} é frequentemente denotada por i d X {\displaystyle \mathrm {id} _{X}} .
Na teoria dos conjuntos, onde uma função é definida como um tipo particular de relação binária, a função identidade é dada pela relação de identidade, ou diagonal de X {\displaystyle X} .
O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrante (x=y), ou seja, a reta passa pela origem (0,0). Por essa mesma razão ele se parece com a função linear.
Se f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} é uma função qualquer, então nós temos f ∘ i d A = f = i d B ∘ f {\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{A}=f=\mathrm {id} _{B}\circ f} (onde " ∘ {\displaystyle \circ } " denota composição de função). Em particular i d A {\displaystyle \mathrm {id} _{A}} é o elemento de identidade do monoide de todas as funções de A {\displaystyle A} até A {\displaystyle A} .
Como o elemento de identidade de um monoide é único, pode-se definir alternadamente a função de identidade A {\displaystyle A} ser esse elemento de identidade. Tal definição generaliza para o conceito de um morfismo de identidade na teoria de categorias, onde os endomorfismos de A {\displaystyle A} não deve ser funções.