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A bissetriz (AO 1945: bissectriz) é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes e, por consequência, divide um ângulo em dois ângulos congruentes.^[1]

Tipos de bissetriz

Existem dois tipos de bissetriz:

A bissetriz interna - que é a bissetriz do próprio ângulo
A bissetriz externa - que é a bissetriz do ângulo formado por uma semi-reta que compõe o ângulo e pela semi-reta oposta à outra semi-reta, ou em outras palavras, é a bissetriz do ângulo suplementar a este.

Propriedades de uma bissetriz

As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.
Analogamente, as bissetrizes de dois ângulos replementares são semirretas opostas.
As bissetrizes de dois ângulos suplementares são perpendiculares.

Construção com régua e compasso

Traçado da bissetriz de um ângulo usando régua e compasso:

Centre o compasso no ponto O e trace uma circunferência qualquer, a interseção com as semirretas determina os pontos A e B.
Centre o compasso em A e trace um arco de circunferência maior do que a metade do segmento AB, a fim de evitar imprecisões.
Centre o compasso em B e trace o mesmo arco anterior.
A interseção dos arcos determina o ponto C.
A bissetriz do ângulo O passa pelos pontos C e O.

Para a bissetriz de um ângulo côncavo

A bissetriz de um ângulo côncavo será a semirreta oposta à bissetriz do ângulo replementar deste.

Bissetrizes de um triângulo

Um triângulo possui dois tipos de bissetrizes: bissetrizes internas e bissetrizes externas.

As três bissetrizes internas do triângulo são concorrentes, e o ponto de encontro delas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo, e este ponto também é equidistante de todos os lados do triângulo.
É sabido também que duas bissetrizes externas de dois vértices diferentes, junto com a bissetriz interna do terceiro vértice do triângulo também são concorrentes e se encontram no exincentro dele, que é tangente a um lado do triângulo e aos prolongamentos dos outros dois lados deste triângulo.

Teorema da bissetriz interna

O teorema da bissetriz interna diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz interna do ângulo A que determina sobre o segmento BC um ponto D, tem-se que os segmentos BD e CD formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente. Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz de A, e sendo D a intersecção entre a bissetriz e o lado BC, tem-se que:

${\frac {AB}{BD}}={\frac {AC}{CD}}$

Teorema da bissetriz externa

O teorema da bissetriz externa diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz externa do ângulo A que determina sobre a reta do segmento BC um ponto H, tem-se que os segmentos BH e CH formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.

Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz externa de A, e sendo H a intersecção entre a bissetriz e a reta do lado BC, tem-se que:

${\frac {AC}{CH}}={\frac {AB}{BH}}$

Referências

↑ Putnoki, José Carlos (1990). Elementos de geometria e desenho geométrico. [S.l.]: Scipione. Vol. 1

Bibliografia

Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.