Cotangente hiperbólica

Gráfico da função cotangente hiperbólica.

A cotangente hiperbólica é uma função hiperbólica. É obtida a partir da razão entre cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico, de forma similar à relação trigonométrica da cotangente. É representado por ${\displaystyle {\text{cotgh}}(x)}$ ou ${\displaystyle \coth(x)}$ e expresso matematicamente por:^[1]

${\displaystyle \operatorname {cotgh(x)} ={\cosh(x) \over {\text{senh(x)}}}={{e^{x}+e^{-x} \over 2} \over {e^{x}-e^{-x} \over 2}}}$

que, por fim, resulta em:

${\displaystyle \operatorname {cotgh(x)} ={e^{x}+e^{-x} \over {e^{x}-e^{-x}}}}$

Características

O domínio da função está definido para ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ e ${\displaystyle (0,+\infty )}$ e seu contradomínio fica definido para o intervalo ${\displaystyle (-\infty ,-1)}$ e ${\displaystyle (1,+\infty )}$. A função apresenta uma assíntota horizontal em ${\displaystyle y=-1}$ e em ${\displaystyle y=1}$. Em ambos lados da assíntota nós encontramos uma função monótona estritamente decrescente.

Derivada

A derivada da função é:^[2]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {cotgh} x=1-\operatorname {cotgh} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x}$

Teorema de adição

A função cotangente hiperbólica, como demonstra o teorema de adição, pode-se ser sintetizada como:^[2]

${\displaystyle \operatorname {cotgh} (\alpha +\beta )={\frac {1+\operatorname {cotgh} \alpha \,\operatorname {cotgh} \beta }{\operatorname {cotgh} \alpha +\operatorname {cotgh} \beta }}}$

Referências

1. Luiza Amalia Pinto Cantão; Renato Fernandes Cantão (2006). «Funções Hiperbólicas» (PDF). Unesp. Consultado em 21 de janeiro de 2023 
2. Jonas José Cruz dos Santos (julho de 2015). «Estudo e Aplicações das Funções Hiperbólicas» (PDF). UFPB. Consultado em 21 de janeiro de 2023 

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