Relacja zwrotna – abstrakcyjna relacja, w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą[1].
Formalnie: relację dwuczłonową
nazywa się zwrotną, gdy
![{\displaystyle \forall _{x\in X}\;(x\ \varrho \ x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc209bcf9b25b40cc71fba34c6964169ad6f956b)
Zwrotność jest jedną z definiujących cech praporządków, w tym relacji równoważności i częściowych porządków (skierowań).
Relacja przeciwzwrotna – relacja, w której żaden element zbioru nie jest w relacji sam z sobą.
Formalnie: relację dwuczłonową
nazywa się przeciwzwrotną, gdy
![{\displaystyle \forall _{x\in X}\ \lnot (x\ \varrho \ x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1804be139d8d6542bef20c9da9c1cda82aaae6)
Przykłady
Relacje zwrotne:
Relacje przeciwzwrotne:
Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:
- podzielność liczb naturalnych z zerem – nie jest zwrotna, ponieważ zero nie dzieli siebie samej (ani żadnej innej liczby); nie jest też przeciwzwrotna, bo dalsze liczby naturalne już dzielą siebie same;
- względna pierwszość liczb naturalnych – nie jest zwrotna, ponieważ 2 nie jest względnie pierwsza ze sobą; nie jest też przeciwzwrotna, bo 1 jest już względnie pierwsza ze sobą samą.
- Biorąc relację
określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco:
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest liczbą pierwszą. Relacja
nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo
(co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ
) oraz
(nie jest przeciwzwrotna, ponieważ
).
- Rozdzielność działania – nie jest zwrotna, ponieważ dodawanie nie jest rozdzielne względem siebie samego; w ogólności a+(b+c) ≠ (a+b)+(a+c). Nie jest też przeciwzwrotna, ponieważ suma zbiorów jest już samorozdzielna:
.
Przypisy
Bibliografia
pojęcia podstawowe |
|
---|
własności i typy | według liczby argumentów |
|
---|
konkretne przykłady |
|
---|
własności relacji binarnych |
|
---|
praporządki |
|
---|
inne zestawy własności |
|
---|
|
---|
działania na relacjach | |
---|
powiązane struktury | |
---|
pozostałe pojęcia |
|
---|