Relacja trójargumentowa

Relacja trójargumentowa lub relacja ternarna – dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego trzech zbiorów. Analogicznie do relacji dwuargumentowej, która jest zdefiniowana jako zbiór uporządkowanych dwójek, relacja trójargumentowa jest zbiorem uporządkowanych trójek postaci ${\displaystyle (x,y,z)}$ należących do zbioru ${\displaystyle X\times Y\times Z.}$

Definicja ta oddaje intuicję związku, czy zależności między elementami tych trzech zbiorów (elementy wspomnianych trzech zbiorów pozostają w pewnym związku, łączy je pewna zależność, własność, albo nie).

Przykłady

Współliniowość punktów

Przykładem relacji trójargumentowej jest relacja współliniowości trzech punktów. Podobnie relacja leżenia między trzech punktów oznaczająca leżenie punktu między dwoma innymi.

Funkcje dwuargumentowe

Funkcją dwóch zmiennych ${\displaystyle f\colon A\times B\to C}$ nazywamy taką funkcję, która każdej uporządkowanej parze ${\displaystyle (a,b)}$ in ${\displaystyle A\times B}$ przyporządkowuje element ${\displaystyle f(a,b)}$ ze zbioru ${\displaystyle C,}$ a więc wykres funkcji ${\displaystyle f}$ składa się z uporządkowanych par ${\displaystyle ((a,b),f(a,b)),}$ które są utożsamiane z uporządkowanymi trójkami ${\displaystyle (a,b,f(a,b))).}$ Wtedy wykres ${\displaystyle f}$ jest relacją trójargumentową zbiorów ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ oraz ${\displaystyle C,}$ do której należą wszystkie trójki postaci ${\displaystyle (a,b,f(a,b))),}$ dla każdego ${\displaystyle a}$ należącego do ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle b}$ należącego do ${\displaystyle B.}$

Porządek cykliczny

Dla dowolnego zbioru ${\displaystyle A,}$ którego elementy ułożyliśmy w okrąg, można zdefiniować relację ${\displaystyle R}$ na zbiorze ${\displaystyle A,}$ będącą podzbiorem ${\displaystyle A^{3}=A\times A\times A,}$ przy założeniu, że ${\displaystyle R(a,b,c)}$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a,b,c}$ są parami różne i kiedy przechodząc z ${\displaystyle a}$ do ${\displaystyle c}$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara musimy przejść przez ${\displaystyle b.}$ Na przykład dla zbioru ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}$ reprezentującego godziny na tarczy zegara, ${\displaystyle R(8,12,4)}$ zachodzi oraz ${\displaystyle R(12,8,4)}$ nie zachodzi.

Relacja przystawania

Relacja przystawania:

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

trzech liczb całkowitych ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle m}$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle m}$ dzieli ${\displaystyle a-b,}$ a zatem może zostać uznana za relację trójargumentową. Przyjmuje się jednak, że jest to rodzina relacji między ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ oraz kolejnych liczb całkowitych ${\displaystyle m.}$ Wówczas dla każdego ustalonego ${\displaystyle m}$ taka relacja dwuargumentowa jest m.in. relacją równoważności.