Rileggendo similmente la relazione , si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di .
per tutti gli elementi , di , allora è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di da una matrice ortogonale.
In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.
Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.
Analogamente, il prodotto di due matrici ortogonali è una matrice ortogonale. Infatti:
Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali forma un gruppo rispetto all'operazione "moltiplicazione tra matrici/composizione di funzioni lineari", il gruppo ortogonale, che è un gruppo di Lie e viene indicato con .
La sua dimensione è . Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici che vanno da 1 a , ma l'equazione relativa a con equivale a quella relativa a e quindi ci sono solo equazioni indipendenti, e quindi gradi di libertà.
Matrice ortogonale speciale
Il determinante di ogni matrice ortogonale è o . Questo si può dimostrare come segue:
Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale.
Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto. Autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali tra loro.
Decomposizioni lungo piani
Data una matrice ortogonale , esiste una matrice ortogonale , tale che:
dove denotano matrici di rotazione. Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di .
Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alla rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Ad esempio, i vettori della base canonica di sono e e un generico vettore di questo piano cartesiano si può scrivere:
La matrice ortogonale:
rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice , poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:
La matrice ortogonale:
rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse , poiché il punto ha come immagine :
Per i due prodotti di queste matrici si trova:
Si tratta delle due rotazioni nel piano di e di , rotazioni opposte: quindi le due matrici anticommutano. In formule:
Si considerino ora ed come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari:
sfruttando la composizione:
si trova:
Per il quadrato di una di queste entità in particolare:
Si può quindi definire come prodotto interno di e la precedente composizione, a meno della matrice unità . Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva.
Il prodotto interno di una entità matriciale e vettoriale con sé stessa fornisce il quadrato della sua norma.
Dato che le entità base anticommutano si vede che:
Le entità ed sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni: sono matrici ortogonali e rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.
Matrici ortogonali trigonometriche
Matrice ortogonale 2×2
Matrice ortogonale 3×3
Queste matrici sono anche matrici di rotazione di coordinate. Utilizzando le equazioni di rotazione di uno spazio n-dimensionale si possono costruire matrici ortogonali trigonometriche di dimensione .
Bibliografia
(EN) A.I. Mal'tsev, Foundations of linear algebra , Freeman (1963) (Translated from Russian)
(EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 43
(EN) H.W. Turnball, A.C. Aitken, An introduction to the theory of canonical matrices , Blackie & Son (1932)
(EN) Persi Diaconis, Mehrdad Shahshahani. The subgroup algorithm for generating uniform random variables. Prob. in Eng. and Info. Sci., vol. 1, 15–32, 1987. ISSN 0269-9648.
(EN) Augustin A. Dubrulle. Frobenius Iteration for the Matrix Polar Decomposition. HP Labs Technical Report HPL-94-117. December 16, 1994. [1]Archiviato il 21 marzo 2021 in Internet Archive.
(EN) Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 3/e. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9.
(EN) Nicholas Higham. Computing the Polar Decomposition—with Applications. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7(4):1160–1174, 1986. ISSN 0196-5204. [2]Archiviato il 7 ottobre 2007 in Internet Archive.