Formula di Grassmann

In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann, afferma inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e ${\displaystyle \cap }$ costituiscono un reticolo modulare.

Enunciato

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$ dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita. Siano ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle U}$ due sottospazi di ${\displaystyle V}$. Indicando con ${\displaystyle W+U}$ il sottospazio somma di ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle U}$ dato da:^[1]

${\displaystyle W+U:=\{\mathbf {w} +\mathbf {u} \ |\ \mathbf {w} \in W,\mathbf {u} \in U\}}$

e con ${\displaystyle W\cap U}$ il loro sottospazio intersezione, la formula di Grassmann afferma che:^[2]

${\displaystyle \dim(W+U)=\dim(W)+\dim(U)-\dim(W\cap U)}$

Somma diretta

Due sottospazi ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle W}$ sono in somma diretta se ${\displaystyle U\cap W=\{0\}}$. In questo caso la formula di Grassmann asserisce che:

${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)}$

Se inoltre ${\displaystyle V=U+W}$, si dice che ${\displaystyle V}$ si decompone in somma diretta di ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle W}$ e si scrive:

${\displaystyle V=U\oplus W}$

In questo caso il sottospazio ${\displaystyle W}$ è un supplementare di ${\displaystyle U}$ (e viceversa).

Ad esempio, lo spazio ${\displaystyle M(n)}$ delle matrici quadrate ${\displaystyle n\times n}$ a coefficienti in un campo ${\displaystyle K}$ si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:

${\displaystyle M(n)=S(n)\oplus A(n)}$

La formula di Grassmann porta all'uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

${\displaystyle n^{2}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}}$

Dimostrazione

Struttura della dimostrazione

La formula si dimostra individuando due basi per ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle U}$ che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base ${\displaystyle B}$ per ${\displaystyle W\cap U}$, e si completa ad una base ${\displaystyle B\cup B_{U}}$ di ${\displaystyle U}$, e ad una base ${\displaystyle B\cup B_{W}}$ di ${\displaystyle W}$. I vettori in:

${\displaystyle B\cup B_{U}\cup B_{W}}$

generano lo spazio ${\displaystyle U+W}$, si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per ${\displaystyle U+W}$. Un conteggio degli elementi nelle tre basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

Verifica dell'indipendenza lineare

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in:

${\displaystyle B\cup B_{U}\cup B_{W}}$

che viene mostrata nel modo seguente. Sia:

${\displaystyle B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{d}\},\quad B_{U}=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{s}\},\quad B_{W}=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{t}\}}$

Si supponga l'esistenza di una combinazione lineare nulla:

${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots \lambda _{d}\mathbf {v} _{d}+\mu _{1}\mathbf {u} _{1}+\ldots +\mu _{s}\mathbf {u} _{s}+\gamma _{1}\mathbf {w} _{1}+\ldots +\gamma _{t}\mathbf {w} _{t}=0}$

In altre parole, raggruppando:

${\displaystyle \mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots \lambda _{d}\mathbf {v} _{d},\quad \mathbf {u} =\mu _{1}\mathbf {u} _{1}+\ldots +\mu _{s}\mathbf {u} _{s},\quad \mathbf {w} =\gamma _{1}\mathbf {w} _{1}+\ldots +\gamma _{t}\mathbf {w} _{t}}$

si ottiene:

${\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {u} +\mathbf {w} =0}$

Da questo segue che ${\displaystyle \mathbf {w} =-\mathbf {v} -\mathbf {u} }$, e poiché sia ${\displaystyle \mathbf {v} }$ che ${\displaystyle \mathbf {u} }$ appartengono a ${\displaystyle U}$, ne segue che anche ${\displaystyle \mathbf {w} }$ appartiene a ${\displaystyle U}$. Quindi ${\displaystyle \mathbf {w} }$ appartiene all'intersezione ${\displaystyle U\cap W}$, e si scrive come combinazione lineare di elementi di ${\displaystyle B}$. D'altra parte, come elemento di ${\displaystyle W}$, è descritto come combinazione lineare di elementi di ${\displaystyle B_{W}}$: poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:

${\displaystyle \gamma _{1}=\ldots =\gamma _{t}=0,\quad \mathbf {w} =0}$

Si ottiene quindi ${\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {u} =0}$. Poiché i vettori ${\displaystyle B\cup B_{U}}$ sono una base di ${\displaystyle U}$, sono quindi indipendenti, e ne segue che anche:

${\displaystyle \lambda _{1}=\ldots =\lambda _{d}=0,\quad \mu _{1}=\ldots =\mu _{s}=0}$

Quindi i coefficienti sono tutti nulli, e l'insieme:

${\displaystyle B\cup B_{U}\cup B_{W}}$

è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.

Conteggio dimensioni

Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio:

${\displaystyle \dim(U+W)=d+s+t=(d+s)+(d+t)-d=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)}$

Dimostrazione alternativa

Si consideri la funzione:

${\displaystyle f\colon U\times W\to U+W\;\colon \;(u,w)\mapsto \mathbf {u} +\mathbf {w} }$

che si verifica essere un'applicazione lineare. Si ha:

${\displaystyle \mathrm {im} (f)=U+W\qquad \ker(f)=\{(\mathbf {v} ,-\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in U\cap W\}}$

Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a ${\displaystyle U\cap W}$, e l'isomorfismo è dato da:

${\displaystyle \phi \,\colon \,\ker(f)\to U\cap W\,\colon \,(\mathbf {v} ,-\mathbf {v} )\mapsto \mathbf {v} }$

Si ha quindi:

${\displaystyle \dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim(\mathrm {im} (f))+\dim(\ker(f))}$

${\displaystyle =\dim(U\times W)=\dim(U)+\dim(W)}$

dove si è applicato il teorema del rango più nullità.

Dimostrazione con il teorema di isomorfismo

La formula di Grassmann può essere vista come corollario del secondo teorema di isomorfismo:

${\displaystyle {U+W}/W\cong U/{U\cap W}}$

con ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle W}$ visti come gruppi (notazione additiva), e dove con ${\displaystyle /}$ si intende l'ordinario quoziente insiemistico. Infatti si ha:

${\displaystyle \dim {({U+W}/W)}=\dim({U/{U\cap W}})}$

${\displaystyle \dim {(U+W)}-\dim {(W)}=\dim {(U)}-\dim {(U\cap W)}}$

che è la formula di Grassmann.

Esempi

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui ${\displaystyle V}$ sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

• Uno dei due sottospazi ${\displaystyle W}$ o ${\displaystyle U}$ ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) si ha ${\displaystyle W+U=U}$ e ${\displaystyle W\cap U=W}$ e la formula si riduce a una identità.
• ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle U}$ sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):
  • se le rette sono distinte ${\displaystyle W\cap U}$ contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e ${\displaystyle W+U}$ è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.
  • se coincidono ${\displaystyle W+U=W=U=W\cap U}$ e ancora si ha una identità.
• ${\displaystyle W}$ è una retta per l'origine e ${\displaystyle U}$ un piano per l'origine:
  • se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;
  • se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.
• ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle U}$ sono piani per l'origine:
  • se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;
  • se coincidono si ha un'identità che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

Note

1. S. Lang, Pag. 52.
2. Hoffman, Kunze, Pag. 46.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Somma diretta
• Sottospazio vettoriale
• Teorema della dimensione

Collegamenti esterni

• Grassmann, formula di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.