Matrice nulla

In matematica, una matrice nulla o matrice zero è una matrice i cui valori sono tutti pari a zero.

La matrice nulla con ${\displaystyle m}$ righe e ${\displaystyle n}$ colonne viene indicata con ${\displaystyle 0_{m\times n}}$, o più semplicemente con ${\displaystyle 0}$.

Sono qui mostrate alcune matrici quadrate nulle:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}}$

Proprietà

Elemento neutro

La matrice nulla è l'elemento neutro rispetto all'operazione di somma fra matrici. In altre parole, valgono le relazioni

${\displaystyle A+0=0+A=A}$

per ogni matrice ${\displaystyle A}$ avente lo stesso numero di righe e colonne di ${\displaystyle 0}$.

L'insieme ${\displaystyle M(m,n,K)}$ di tutte le matrici ${\displaystyle m\times n}$ a valori in un fissato campo ${\displaystyle K}$ è un gruppo e uno spazio vettoriale, e la matrice nulla ${\displaystyle 0}$ è l'elemento neutro di entrambe le strutture.

Se ${\displaystyle m=n}$, è definita anche una moltiplicazione e l'insieme ${\displaystyle M(m,m,K)}$ è anche un anello: tutte queste strutture sono riassunte nella nozione di algebra su campo, e ${\displaystyle 0}$ è sempre l'elemento neutro rispetto alla somma. L'elemento neutro rispetto al prodotto è la matrice identità.

Applicazioni lineari

Alla matrice nulla è associata la trasformazione lineare identicamente nulla: quell'applicazione ${\displaystyle 0:V\to W}$ fra spazi vettoriali che associa ad ogni vettore ${\displaystyle v}$ di ${\displaystyle V}$ il vettore nullo di ${\displaystyle W}$.

Voci correlate

• Matrice identità

Collegamenti esterni

• (EN) zero matrix, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice nulla, su MathWorld, Wolfram Research.