Teorema di Binet

In algebra lineare, il teorema di Binet è un teorema che collega il prodotto fra matrici quadrate con il determinante.

Il teorema viene generalizzato dalla formula di Cauchy-Binet.

Il teorema

Siano ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo ${\displaystyle K}$.

Il determinante del prodotto tra ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è il prodotto del determinante di ${\displaystyle A}$ per il determinante di ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle \det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B.}$

Dimostrazione

Si ricordi che il determinante può essere considerato come una forma multilineare alternante ${\displaystyle \det(c_{1},\ldots ,c_{n})}$ sulle colonne di una matrice quadrata ${\displaystyle n\times n}$; l'unica per cui ${\displaystyle \det(e_{1},\ldots ,e_{n})=1,}$ dove ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ è la base canonica di ${\displaystyle K^{n}}$. Il teorema di Binet segue dal fatto che le forme multilineari alternanti costituiscono uno spazio vettoriale unidimensionale, e che la funzione ${\displaystyle \phi (X)=\det(A\cdot X)}$ è una forma multilineare alternante.

Lemma 1

Tutte le forme multilineari alternanti sono multiple del determinante.

Dimostrazione del lemma 1

Sia ${\displaystyle f\colon K^{n}\times \dots \times K^{n}\to K}$ una forma multilineare e alternante. Sia ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ la base canonica di ${\displaystyle K^{n}}$. Dati i vettori ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ tali che ogni ${\displaystyle v_{j}}$ ha coordinate canoniche ${\displaystyle c_{j,1},\ldots ,c_{j,n}}$. Per multilinearità vale:

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=f\left(\sum _{j_{1}=1}^{n}c_{1,j_{1}}e_{j_{1}},\ldots ,\sum _{j_{n}=1}^{n}c_{n,j_{n}}e_{j_{n}}\right)=\sum _{j_{1}=1}^{n}\ldots \sum _{j_{n}=1}^{n}\left(\prod _{k=1}^{n}c_{k,j_{k}}\right)f(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{n}}).}$

Poiché la forma è anche alternante, quando ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$ non sono tutti distinti, si ha che ${\displaystyle f(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{n}})=0}$. Possiamo quindi riscrivere l'equazione considerando soltanto i casi in cui ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$ sono distinti, ossia sono una permutazione di ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$. Indicando con ${\displaystyle S_{n}}$ il gruppo simmetrico di ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$ abbiamo:

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{k=1}^{n}c_{k,\sigma (k)}\right)f(e_{\sigma (1)},\ldots ,e_{\sigma (n)}).}$

Considerando che ogni forma alternante è anche antisimmetrica si possono riordinare gli argomenti di ${\displaystyle f}$ nel seguente modo:

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{k=1}^{n}c_{k,\sigma (k)}\right)\operatorname {sgn}(\sigma )f(e_{1},\ldots ,e_{n})=f(e_{1},\ldots ,e_{n})\det(C),}$

dove ${\displaystyle C}$ è la matrice che ha per colonne le coordinate canoniche di ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$. Dunque

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=f(e_{1},\ldots ,e_{n})\det(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

Il risultato dell'applicazione della forma multilineare alternante alla base canonica determina la forma in modo univoco.

Dimostrazione del teorema

Sia ${\displaystyle \phi (X)=\det(A\cdot X)}$. Occorre dimostrare che è una forma multilineare alternante sulle colonne di ${\displaystyle X}$.

Per le regole della moltiplicazione tra matrici, siano ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ le colonne di ${\displaystyle X}$, allora la colonna ${\displaystyle j}$ di ${\displaystyle A\cdot X}$ è uguale a ${\displaystyle Ax_{j}}$ e, considerando ${\displaystyle \phi }$ e ${\displaystyle \det }$ come forme sulle colonne si può scrivere ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\det(Ax_{1},\ldots ,Ax_{n}).}$

Quindi:

• ${\displaystyle \phi }$ è multilineare, infatti siano ${\displaystyle \lambda \in K}$, ${\displaystyle a,b\in K^{n}}$, vale

${\displaystyle \phi (\ldots ,\lambda a+b,\ldots )=\det(\ldots ,A(\lambda a+b),\ldots )=\lambda \det(\ldots ,Aa,\ldots )+\det(\ldots ,Ab,\ldots )=\lambda \phi (\ldots ,a,\ldots )+\phi (\ldots ,b,\ldots ).}$

• ${\displaystyle \phi }$ è alternante, infatti ${\displaystyle \phi (\ldots ,a,\ldots ,a,\ldots )=\det(\ldots ,Aa,\ldots ,Aa,\ldots )=0.}$

Quindi

${\displaystyle \det(A\cdot B)=\phi (B)=\phi (I_{n})\det(B)=\det(A\cdot I_{n})\cdot \det(B)=\det(A)\cdot \det(B).}$

Applicazioni

• Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Infatti:
  • se ${\displaystyle A}$ è invertibile allora esiste ${\displaystyle B}$ tale che ${\displaystyle AB=I}$, e quindi ${\displaystyle \det(A)*\det(B)=\det(I)=1}$, e quindi ${\displaystyle \det(A)}$ non è zero.
  • se ${\displaystyle \det(A)}$ non è zero l'algoritmo di Gauss permette di trovare un'inversa.
• Se ${\displaystyle A}$ è invertibile, allora:

${\displaystyle \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}}$

• Il determinante è invariante per similitudine: infatti

${\displaystyle \det(MAM^{-1})=\det M\cdot \det A\cdot \det M^{-1}=\det A}$

• Il determinante di un endomorfismo ${\displaystyle f:V\to V}$ (dove ${\displaystyle V}$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita), definito come il determinante di una matrice associata rispetto ad una base ${\displaystyle B}$, in realtà non dipende dalla scelta di ${\displaystyle B}$: è quindi una grandezza intrinseca di ${\displaystyle f}$, che indichiamo con ${\displaystyle \det(f)}$.
• Il determinante di un'isometria ${\displaystyle f:V\to V}$ ha norma 1. Quindi se ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ il determinante di una isometria è 1 oppure -1.

Bibliografia

• (EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorems, pp 208–14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.

Voci correlate

• Formula di Cauchy-Binet
• Matrice di trasformazione
• Similitudine fra matrici