Teorema di Kronecker

Il teorema di Kronecker (o dei minori orlati o semplicemente degli orlati) è un teorema di algebra lineare che permette di calcolare il rango di una matrice.

In una matrice ${\displaystyle A}$, considerata una sottomatrice quadrata di ordine ${\displaystyle p}$ con determinante diverso da zero, si definiscono orlati tutte le sottomatrici quadrate di ordine ${\displaystyle p+1}$, ottenute aggiungendo una riga e una colonna di ${\displaystyle A}$. Se tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora ${\displaystyle rk(A)=p}$.

Grazie a tale teorema non occorre controllare tutti i minori contenuti in una matrice, ma solo quelli che orlano un minore di ordine ${\displaystyle p}$.

Esempio

La seguente matrice:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\3&-5&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}}$

ha un minore di ordine ${\displaystyle 2}$ non nullo:

${\displaystyle A_{m}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

È sufficiente considerare gli orlati di ${\displaystyle A_{m}}$, che sono solo due dei quattro minori di ordine ${\displaystyle 3}$ di ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\3&-5&1\end{pmatrix}}=0}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\2&-1&3\end{pmatrix}}=0}$

Essi risultano nulli, quindi ${\displaystyle rk(A)=2}$.

Voci correlate

• Matrice
• Rango (algebra lineare)
• Minore (algebra lineare)
• Determinante