In matematica, il gruppo ortogonale di grado
su un campo
è il gruppo delle matrici ortogonali
a valori in
. Si indica con
o, se il campo è chiaro dal contesto, semplicemente con
.
Quando
è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione
Le matrici aventi determinante uguale a
formano un sottogruppo, che si indica con
, detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.
Definizione
Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare
di tutte le matrici invertibili, definito come segue:
![{\displaystyle \{Q\in \mathrm {GL} (n,K)\ |\ Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349188f0ffc411e5dc0ccc2beb9991dc198bfc75)
In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali[1].
Quando il campo
non è menzionato, si sottintende che
è il campo dei numeri reali
. In questa voce, parleremo soltanto del caso
.
Proprietà basilari
Una matrice ortogonale ha determinante
oppure
Il sottoinsieme di
formato da tutte le matrici con determinante
è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con
. Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.
Il gruppo
è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione
Il sottogruppo
è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.
Topologia
Il gruppo
è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è
Dimensioni basse
- Per
, il gruppo
consta di due elementi,
e ![{\displaystyle -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1ae9e73ea72a95921a7fbeba221311687f1367)
- Per
, il gruppo
è isomorfo al gruppo quoziente
dove
è l'insieme dei numeri reali e
il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con
, e topologicamente è una circonferenza.
- Per
, il gruppo
è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come ![{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5ea9bdc7df9ead8e852c208b16ebdbb1a8f5ae)
Gruppo fondamentale
Il gruppo fondamentale di
è
il gruppo dei numeri interi. Per ogni
il gruppo fondamentale di
è invece
il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con
, e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo
è chiamato gruppo Spin.
Note
- ^ Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, p. 58, ISBN 88-339-5548-6.
Bibliografia
- (EN) Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Boston, Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4259-5.
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 88-339-5548-6.
Voci correlate