משה גפני נולד בתל אביב לאליהו גפני (ויינטרופ) וחוה-ברכה זילברברג, ילידי פולין וחסידי גור. למד בבית הספר היסודי יסודי התורה-תל אביב,
בוגר ישיבות סלבודקה וגרודנא. קיבל דחיית שירות במסגרת "תורתו אומנותו".[1] בשנת תשל"ג, לאחר נישואיו, עבר לאופקים והיה ממייסדי הקהילה החרדית במקום,[2] ואחד מראשיה.[3] כיהן כראש כולל "זיכרון אליהו" באופקים וכחבר המועצה המקומית אופקים. שימש ככתב בעיתון "יתד נאמן".[1]
ביוני 2018 הותקף גפני על ידי פעילי הפלג הירושלמי לאור פעילותו, בהיותו נציג "דגל התורה", להסדרת מעמד בני הישיבות. בשל כך, הוא זכה למכתב תמיכה חריג ממנהיג הציבור הליטאי, הרב חיים קניבסקי.
ב-13 בפברואר 2020 הודיע גפני כי החינוך העצמאי של אגודת ישראל יפתח בתי ספר עם לימודי חול לבנים חרדים לאחר שקיבל אישור מגדולי התורה.
בבחירות לכנסת העשרים וחמש לאחר משא ומתן בין מפלגות אגודת ישראל ודגל התורה המרכיבות את רשימת יהדות התורה, התחלף משה גפני עם יו"ר אגודת ישראל, יצחק גולדקנופף והוצב במקום השני, אחרי גולדקנופף, אך לפי כללי ההסכם, גפני הוא זה אשר בחר תפקיד ראשון, ועם הקמת הממשלה, הוא חזר לתפקידו כיושב ראש ועדת הכספים.
תיקון לחוק חינוך ממלכתי הקובע כי הרשויות המקומיות יהיו רשאיות להשתתף בתקציביהם של מוסדות חינוך מוכרים לא רשמיים גם בדרך של מתן שירות בפועל או של הקצאת משאבים בפועל (יחד עם מנחם אליעזר מוזס ואורי מקלב)
תיקון לחוק הכנסת המאפשר דיונים בוועדת משנה חסויה מטעמים של חשש לפגיעה של ממש בעניין כלכלי משמעותי של המדינה (יחד עם יריב לוין)
תיקון לחוק הכנסת המבטל את תפקיד נציב הדורות הבאים (יחד עם יריב לוין)
תיקון לחוק הגנת הפרטיות הקובע כי פרסום צילום של נפגע גוף או נפש בזמן הפגיעה או בסמוך לה, שלא בהסכמת הנפגע, תהווה פגיעה בפרטיות וכך גם פרסום צילום גופתו של אדם באופן המאפשר את זיהויו (יחד עם אורי מקלב)
גפני העיד על עצמו 'אני לא שמאלני, אני מתנהג בשכל בכל נושא, אך בנושא המדיני אני כנראה קרוב לשמאל'.[16] במקרה אחר (יוני 2017, בוועידת השלום של עיתון הארץ) התבטא באופן דומה: "אני לא שמאלני ולא ימני, אני עובד בשכל".[17] בנוסף במהלך דבריו אמר כי "הפלסטינים היו פה לפנינו ואנחנו אלה שהוצאנו אותם מפה".[17]
הוא מתנגד בנחרצות לכל נורמליזציה עם הזרם הרפורמי ביהדות, עם זאת, תחילה לא התנגד למתווה הכותל שנחתם בשנת 2016 בין הממשלה לזרמים השונים ביהדות ונחשב כפריצת דרך מבחינתם בכל הקשור ל'הכרה ממשלתית' בהם, אך לבסוף גם בשל פרסום המתווה באתרי האינטרנט החרדיים, איים בפירוק הממשלה באם לא יבוטל המתווה, והמתווה הוקפא לבסוף בשנת 2017.[20]
בשנת 2009 ימי פרשת בג"ץ בית הספר בעמנואל טען גפני כי 'בית המשפט פוסק באופן שיטתי נגד הציבור החרדי' ואיים כי אם בית המשפט ימשיך במדיניות זו הציבור החרדי יפסיק לשלם מיסים.[21]
בשנת 2017 נשא גפני נאום ב"ועידת עיתון הארץ" ועורר סערה ציבורית כשאמר כי "השמאל אינטליגנטי יותר מאשר הימין"[23] חברו לסיעה, מאיר פרוש האשימו ב'הברחת מצביעים' מהמפלגה.[24][25]
באותו החודש, בהקלטות ששודרו בחברת החדשות נשמע גפני מתייחס בכנס סגור להישגי המפלגות החרדיות עם חקיקת חוק המרכולים : "אנחנו לא רק שומרים על הסטטוס קוו, אנחנו גם מתקדמים בנושא של שמירת שבת".[26] לדבריו, בתוך חודש הממשלה תגייס מאות פקחים שאינם יהודיים לשם אכיפת החוק.
.jpg)
