Module monogène

En algèbre, un module monogène est un module qui peut être engendré par un seul élément^[1]. Par exemple, un ℤ-module monogène est un groupe (abélien) monogène. Le concept est analogue à celui de groupe monogène, c'est-à-dire un groupe qui est engendré par un élément.

Définition

Un R-module gauche M est dit monogène si M peut être engendré par un seul élément, c'est-à-dire s'il existe x dans M tel que M = (x) = Rx = {rx | r ∈ R}. De même, un R-module à droite N est monogène s'il existe y ∈ N tel que N = yR.

Exemples

• Tout groupe monogène est un Z-module monogène.
• Tout R-module simple M est un module monogène puisque le sous-module engendré par tout élément x non nul de M est nécessairement le module M entier. En général, un module est simple si et seulement s'il est non nul et est engendré par chacun de ses éléments non nuls^[2].
• Si l'anneau R est considéré comme un module à gauche sur lui-même, alors ses sous-modules monogènes sont exactement ses idéaux à gauche principaux. Il en va de même pour R en tant que R-module à droite, mutatis mutandis.
• Si R est F[x], l'anneau des polynômes sur un corps commutatif F, et V est un R-module qui est aussi un espace vectoriel de dimension finie sur F, alors les blocs de Jordan de x agissant sur V sont des sous-modules monogènes. (Les blocs de Jordan sont tous isomorphes à F[x] / (x – λ)ⁿ ; il peut aussi exister d'autres sous-modules monogènes avec des annulateurs différents ; voir ci-dessous.)

Propriétés

• Étant donné un R-module monogène M qui est engendré par x, il existe un isomorphisme canonique entre M et R / Ann_R x, où Ann_R x désigne l'annulateur de x dans R.
• Tout module est une somme de sous-modules monogènes^[3].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cyclic module » (voir la liste des auteurs).

1. (en) N. Bourbaki, Algebra I: Chapters 1–3 (lire en ligne), p. 220.
2. (en) Frank W. Anderson et Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules, New York, Springer-Verlag, coll. « GTM » (n^o 13), 1992, x+376 (ISBN 0-387-97845-3, DOI 10.1007/978-1-4612-4418-9), juste après la Proposition 2.7.
3. Anderson et Fuller 1992, Proposition 2.7.

Bibliographie

• (en) B. Hartley et T. O. Hawkes, Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman & Hall, 1970, 152 p. (ISBN 0-412-09810-5, lire en ligne), p. 77.
• (en) Serge Lang, Algebra, 3^e éd., Reading, Mass., Addison-Wesley, 1993, p. 147-149