Module projectif

En mathématiques, un module projectif est un module P (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme surjectif f : N → M entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : P → M, il existe un morphisme h : P → N tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :

Autrement dit : P est projectif si pour tout module N, tout morphisme de P vers un quotient de N se factorise par N.

Propriétés

• Les A-modules projectifs sont les objets projectifs de la catégorie abélienne des A-modules : P est projectif si et seulement si le foncteur Hom(P, ) (covariant, exact à gauche) est exact.
• Un module est projectif si et seulement s'il est facteur direct dans un module libre.
• Par conséquent, tout module projectif est plat. La réciproque est fausse, mais tout module plat de présentation finie est projectif.
• Sur un anneau de Dedekind A, tout module projectif de type fini est isomorphe à Aⁿ ⊕ I pour un idéal I de A.
• Sur un anneau noethérien, un module de type fini est projectif si et seulement s'il est localement libre.
• D'après le théorème de Quillen-Suslin, sur un anneau de polynômes A[X₁,...,X_n] où A est un anneau principal (par exemple un corps commutatif), tout module projectif de type fini est libre^[1],[2]. Cette propriété est également exacte si A est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation et, dans le cas où A est un corps commutatif, lorsque l'anneau de polynômes ci-dessus est remplacé par l'anneau de polynômes de Laurent A[X₁, …, X_n, Y₁, …, Y_m, Y₁⁻¹, …, Y_m⁻¹]^[3]. Voir également l'article Anneau d'Hermite.
• Si A est un anneau commutatif noethérien sans idempotent non trivial (i.e. e² = e implique que e = 0 ou 1), autrement dit, si son spectre est connexe pour la topologie de Zariski, tout module projectif non de type fini sur A est libre^[4].
• Sur un anneau local, tout module projectif est libre^[5].

Rang

Pour tout module projectif de type fini P sur un anneau commutatif A, le rang du A_p-module libre P_p est appelé le rang de P en p, et P est dit de rang n si son rang en tout p vaut n^[6].

Notes et références

Notes

1. (en) Daniel Quillen, « Projective modules over polynomial rings », Invent. Math., vol. 36, n^o 1,‎ 1976, p. 167-171 (DOI 10.1007/BF01390008)
2. Daniel Ferrand, « Les modules projectifs de type fini sur un anneau de polynômes sur un corps sont libres », Séminaire Bourbaki, vol. 18, n^o 484,‎ juin 1976, p. 202-221 (lire en ligne)
3. (en) Tsit Yuen Lam, Serre's Problem on Projective Modules, Berlin, Springer, 2006, 414 p. (ISBN 978-3-540-23317-6), p. 334 et Chap. V, Cor. 4.10
4. (en) Hyman Bass, « Big projective modules are free », Illinois J. Math., vol. 7, n^o 1,‎ 1963, p. 24-3, Corollary 4.5 (lire en ligne)
5. (en) Irving Kaplansky, « Projective modules », Annals of Mathematics, vol. 68,‎ 1958, p. 372-377
6. (en) N. Bourbaki, Commutative Algebra : Chapters 1-7, Springer, 1998, 625 p. (ISBN 978-3-540-64239-8, lire en ligne), p. 111-112, chap. II, § 5.3

Référence

• N. Bourbaki, Algèbre : Chapitres 1 à 3, Springer, 1998, 636 p. (ISBN 978-3-540-33849-9, lire en ligne), chap. II, § 2.2

Articles connexes

• Module injectif
• Module plat
• Théorème des syzygies de Hilbert
• Anneau parfait (en)