Module simple

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Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M^[1].

Exemples

Les ℤ-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier.
Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles.
Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.

Structure des modules simples

Soient A un anneau unitaire et M un A-module simple.

Alors M est un A-module monogène, engendré par n'importe quel élément non nul x de M. En effet, Ax est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est fausse, par exemple le ℤ-module ℤ est monogène (engendré par 1) mais pas simple.
Soit x un élément non nul M. Alors l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 est un idéal à gauche maximal I de A, et l'application a↦ax de A dans M est A-linéaire, et par passage au quotient, définit un isomorphisme de A-modules de A/I sur M.
Réciproquement, pour tout idéal à gauche J de A, pour que le A-module A/J soit simple, il faut et il suffit que J soit un élément maximal de l'ensemble des idéaux à gauche de A différent de A.

Propriétés

Les modules simples sont les modules de longueur 1.
Un module simple est un module indécomposable, c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une somme directe de deux modules non nuls. La réciproque est fausse : par exemple, les ℤ-modules de type fini indécomposables sont ℤ et les groupes cycliques d'ordre pⁿ avec p premier et n > 0.
Contrairement à ce qui se passe pour des espaces vectoriels, un module non nul peut ne pas posséder de sous-module simple. Par exemple, tous les sous-modules non nuls de ℤ sont isomorphes à ℤ donc non simples.

Lemme de Schur

Soient A un anneau, M et N des A-modules et f une application A-linéaire de M dans N. Si M est simple, alors f est soit nulle, soit injective (en effet, le noyau de f est un sous-module de M, donc {0} ou M). Si N est simple, alors f est soit surjective, soit nulle (en effet, l'image de f est un sous module de N, donc {0} ou N)^[2].

Si un A-module est simple alors l'anneau de ses endomorphismes est un corps, mais la réciproque est fausse : le ℤ-module ℚ n'est pas simple, et pourtant tout endomorphisme non nul du groupe abélien ℚ est inversible.

Soient K un corps algébriquement clos, A une K-algèbre de dimension finie non nulle et M un A-module simple. Alors l'anneau des endomorphismes de A-module de M est canoniquement isomorphe à K.