Anneau de Cohen-Macaulay

En algèbre commutative, un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau noethérien qui n'est pas nécessairement régulier, mais dont la profondeur est égale à sa dimension de Krull. Une singularité de Cohen-Macaulay est une singularité dont l'anneau local est un anneau de Cohen-Macaulay. Les anneaux portent le nom d'Irvin Cohen et Francis Macaulay.

Dans la hiérarchie des anneaux, on a les inclusions suivantes :

Anneau universellement caténaire ${\displaystyle \supset }$ anneau de Cohen-Macaulay ${\displaystyle \supset }$ anneau de Gorenstein ${\displaystyle \supset }$ anneau d'intersection complète ${\displaystyle \supset }$ anneau local régulier.

Définitions

Suite régulière

Soit ${\displaystyle M}$ un module sur un anneau ${\displaystyle R}$ ; un élément ${\displaystyle a\in R}$ est dit régulier si ${\displaystyle a\cdot x=0}$ pour un ${\displaystyle x\in M}$ implique ${\displaystyle x=0}$ .

Une suite ${\displaystyle (a_{1},\dotsc ,a_{n})}$ d'éléments ${\displaystyle R}$ est appelée suite ${\displaystyle M}$- régulière si les conditions suivantes sont remplies :

• ${\displaystyle M\neq (a_{1},\dotsc ,a_{n})M}$ ;
• Pour ${\displaystyle i<m}$ l'image de ${\displaystyle a_{i+1}}$ dans ${\displaystyle M/(a_{1},\dotsc ,a_{i})M}$ n'est pas un diviseur de zéro.

Profondeur d'un module

Soit ${\displaystyle M}$ un module sur un anneau ${\displaystyle R}$ ; la profondeur ${\displaystyle \mathrm {prof} (M)}$ de ${\displaystyle M}$ est la longueur maximale d'une suite ${\displaystyle M}$-régulière d'éléments de ${\displaystyle R}$ .

Dimension d'un module

La dimension ${\displaystyle \dim(M)}$ d'un module ${\displaystyle M}$ sur un anneau ${\displaystyle R}$ est la dimension de Krull de ${\displaystyle R/\mathrm {Ann} (M)}$, où ${\displaystyle \mathrm {Ann} (M)}$ est l'annulateur de ${\displaystyle M}$.

Pour un module ${\displaystyle M}$ de type fini sur un anneau noethérien, on a :

${\displaystyle \dim(M)=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Supp} (M)\}}$

où ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$ désigne l'ensemble des à idéaux premiers associés à ${\displaystyle M}$, et ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$ le support du module.

Pour un module de type fini ${\displaystyle M}$ sur un anneau local noethérien ${\displaystyle R}$ on a l'inégalité :

${\displaystyle \operatorname {prof} (M_{m})\leq \min\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}\leq \dim(M)}$.

Cohen-Macaulay

Un module de type fini ${\displaystyle M}$ sur un anneau noethérien ${\displaystyle R}$ est appelé un module de Cohen-Macaulay si pour tous les idéaux maximaux ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle R}$ on a :

${\displaystyle \mathrm {prof} (M_{m})=\dim(M_{m})}$.

${\displaystyle R}$ est un anneau de Cohen-Macaulay si ${\displaystyle R}$ en tant que module, est un module de Cohen-Macaulay^[1].

Exemples d'anneaux de Cohen-Macaulay

• La localisation d'un anneau de Cohen-Macaulay.
• Un anneau noethérien de dimension 0 ou, de manière équivalente, un anneau artinien.
• Un anneau noethérien de dimension 1 réduit.
• Un anneau noethérien de dimension 2 normal.
• Un anneau noethérien régulier, comme les entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ou l'anneau des polynômes ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ sur un corps ${\displaystyle K}$, ou un anneau de séries formelles ${\displaystyle K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$
• Un anneau de Gorenstein.
• L'anneau des invariants ${\displaystyle R^{G}}$, où ${\displaystyle R}$ est un anneau de Cohen-Macaulay sur un corps de caractéristique 0 et ${\displaystyle G}$ est un groupe fini ou plus généralement un groupe algébrique linéaire dont la composante identité est un groupe réductif. C'est le théorème de Hochster-Roberts (en).
• Un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau caténaire.
• Un anneau déterminant (« determinantal ring » en anglais). Soit ${\displaystyle R}$ le quotient d'un anneau local régulier ${\displaystyle S}$ par l'idéal ${\displaystyle I}$ engendré par les mineurs de taille ${\displaystyle r\times r}$ des matrices ${\displaystyle p\times q}$ à éléments dans ${\displaystyle S}$. Si la codimension (ou hauteur) de ${\displaystyle I}$ est égale à la codimension ${\displaystyle (p-r+1)(q-r+1)}$, alors ${\displaystyle R}$ est appelé un anneau déterminant. Dans ce cas, ${\displaystyle R}$ est un anneau de Cohen-Macaulay^[2] De même, les anneaux de coordonnées des variétés déterminantes sont des anneaux de Cohen-Macaulay.
• Anneaux de polynômes :

1. L'anneau ${\displaystyle K[x]/(x^{2})}$ est de dimension 0 et donc est de Cohen–Macaulay, mais il n'est pas réduit et donc n'est pas régulier.
2. Le sous-anneau ${\displaystyle K[t^{2},t^{3}]}$ de l'anneau de polynômes ${\displaystyle K[t]}$, ou sa localisation ou sa complétion en ${\displaystyle t=0}$, est un domaine de dimension 1 qui est Gorenstein et donc Cohen–Macaulay, mais il n'est pas régulier. Cet anneau peut auss être vu comme l'anneau des coordonnées de la courbe cubique ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$ sur ${\displaystyle K}$.
3. Le sous-anneau ${\displaystyle K[t^{3},t^{4},t^{5}]}$ de l'anneau des polynômes ${\displaystyle K[t]}$, ou sa localisation ou complétion en ${\displaystyle t=0}$, est un domaine de dimension 1 qui est Cohen–Macaulay mais n'est pas Gorenstein.

• Les singularités rationnelles sur un corps de caractéristique zéro sont des singularités de Cohen-Macaulay.
• Les variétés toriques sur n'importe quel corps sont des variétés de Cohen-Macaulay^[3]. Le programme du modèle minimal fait un usage important des variétés avec des singularités de type klt (pour Kawamata log terminal) ; en caractéristique zéro, ce sont des singularités rationnelles et donc des singularités de Cohen-Macaulay^[4]. Un analogue des singularités rationnelles en caractéristique positive est la notion de 'F-singularité rationnelle ; là encore, de telles singularités sont des singularités de Cohen-Macaulay^[5].
• Soit ${\displaystyle X}$ une variété projective de dimension ${\displaystyle n\geq 1}$ sur un corps, et soit ${\displaystyle L}$ un faisceau sur ${\displaystyle X}$. L'anneau de section de ${\displaystyle L}$

${\displaystyle R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})}$

est Cohen-Macaulay si et seulement si le groupe de cohomologie ${\displaystyle H^{i}(X,L^{j})}$ est nul pour tout ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$ et tous les entiers j^[6]. Il s'ensuit, par exemple, que le cône affine ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ sur une variété abélienne ${\displaystyle X}$ est Cohen-Macaulay lorsque ${\displaystyle X}$ est de dimension 1, mais pas lorsque ${\displaystyle X}$ a une dimension d'au moins 2 (car ${\displaystyle H^{1}(X,O)}$ n'est pas nul).

Exemples géométriques

• Soit ${\displaystyle K}$ un corps ; la variété algébrique composée de l'axe des X et de l'axe des Y, est décrite par l'anneau de coordonnées ${\displaystyle K[x,y]/(x\cdot y)}$. Le point d'intersection est décrit par l'anneau

${\displaystyle R=(K[x,y]/(x\cdot y))_{(x,y)}}$

C'est une singularité parce que ${\displaystyle R}$ est unidimensionnel, mais l'idéal maximum de ${\displaystyle R}$ ne peut être engendré que par deux éléments. D'un autre côté, ${\displaystyle R}$ est un anneau de Cohen-Macaulay (et même de Gorenstein), puisque l'idéal maximal ne contient pas que des diviseurs de zéro.

• Une singularité plus compliquée est dans l'anneau

${\displaystyle K[x,y]/(x^{2},x\cdot y)}$

L'anneau local associé à la singularité

${\displaystyle (K[x,y]/(x^{2},x\cdot y))_{(x,y)}}$

n'est pas un anneau de Cohen-Macaulay. Il est unidimensionnel, mais l’idéal maximal n’est constitué que de diviseurs de zéro, il n’y a donc pas de suite régulière.

Bibliographie

• Michael Francis Atiyah et Ian Grant Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley publ, coll. « Addison-Wesley series in mathematics », 1969 (ISBN 978-0-201-00361-1)

• Winfried Bruns et Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay Rings, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 39), 1993 (ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956)
• Irvin Cohen, « On the structure and ideal theory of complete local rings », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 59, n^o 1,‎ 1946, p. 54–106 (ISSN 0002-9947, DOI 10.2307/1990313 , JSTOR 1990313, MR 0016094)
• (en) « Cohen–Macaulay ring », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, vol. 150, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1995 (ISBN 978-0-387-94268-1, DOI 10.1007/978-1-4612-5350-1, MR 1322960)
• William Fulton, Introduction to Toric Varieties, Princeton University Press, 1993 (ISBN 978-0-691-00049-7, DOI 10.1515/9781400882526, MR 1234037)
• William Fulton, Intersection Theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. » (n^o 2), 1998, 2^e éd. (ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323)
• Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics », 1977 (ISBN 978-0-387-90244-9)
• János Kollár et Shigefumi Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, 1998 (ISBN 0-521-63277-3, DOI 10.1017/CBO9780511662560, MR 1658959)
• János Kollár, Singularities of the Minimal Model Program, Cambridge University Press, 2013 (ISBN 978-1-107-03534-8, DOI 10.1017/CBO9781139547895, MR 3057950)

• Ernst Kunz, Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie: mit 185 Übungsaufgaben, Vieweg, coll. « Vieweg-Studium Aufbaukurs Mathematik », 1980 (ISBN 978-3-528-07246-9)

• Francis Sowerby Macaulay, The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge University Press, 1916 (ISBN 1-4297-0441-1, DOI 10.3792/chmm/1263317740, MR 1281612, lire en ligne)
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1989 (ISBN 978-0-521-36764-6, MR 0879273)

• Karl Schwede et Kevin Tucker, « A survey of test ideals », dans Progress in Commutative Algebra 2, Berlin, Walter de Gruyter, 2012 (Bibcode 2011arXiv1104.2000S, MR 2932591, arXiv 1104.2000), p. 39–99.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cohen–Macaulay ring » (voir la liste des auteurs).

1. Bruns et Herzog 1993, def. 2.1.1
2. Eisenbud 1995, Théorème 18.18..
3. Fulton 1993, p. 89.
4. Kollár et Mori 1998, Théorèmes 5. 20 et 5.22.
5. Schwede et Tucker 2012, Appendix C.1.
6. Kollár 2013, (3.4).