Kollár est connu pour ses contributions au programme de modèle minimal pour les variétés d'ordre 3 et donc la compactification de modules des surfaces algébriques ; il est également pionnier de la notion de connexitérationnelle, c'est-à-dire l'extension de la théorie des variétés rationnellement liées pour des variétés sur le domaine complexe à des variétés sur des corps locaux) ; il est encore connu pour avoir trouvé des contre-exemples à la conjecture de John Nash : en 1952 Nash conjecture une réciproque à un célèbre théorème qu'il a prouvé[2], et Kollár a été en mesure de fournir de nombreux contre-exemples en dimension 3 à partir d'une nouvelle théorie de la structure d'une classe de variétés algébriques de dimension 3 [3].
Kollár a également donné la première preuve algébrique du théorème des zéros de Hilbert : soient f1,...,fm des polynômes de degré au plus d ≥ 3 à n ≥ 2 variables ; s'ils n'ont pas de zéro commun, alors g1f1 + ... + gmfm = 1 a une solution de telle sorte que chaque gj est de degré au plus dn – d.
János Kollár a démontré en 2000 qu'une hypersurface cubique(en) lisse de dimension au moins 2 définie sur un corps K est unirationnelle si elle a un point rationnel. Ceci améliore de nombreux résultats classiques, à commencer par le cas des surfaces cubiques (qui sont rationnelles sur une clôture algébrique). Parmi les autres exemples dont on sait qu'ils sont unirationnels figurent beaucoup d'espaces de modules de courbes[4].
En 2017, il a reçu le prix Shaw en Sciences Mathématiques[10], conjointement avec Claire Voisin, « pour leurs résultats remarquables dans de nombreuses zones de la géométrie algébrique, qui ont transformé la discipline et conduit à la solution de problèmes posés depuis longtemps qui semblaient hors de portée ».
Rational Curves on Algebraic Varieties, Springer-Verlag, 2001, coll. « Ergebnisse der Mathematik » (ISBN3540601686)[11]
avec Shigefumi Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics », Cambridge University Press, 1998 (ISBN0521632773)[12] (Japanese by Iwanami Shoten)
Lectures on Resolution of Singularities, Princeton University Press, 2007[13]
Singularities of the Minimal Model Program (avec des contributions de Sándor Kovács), coll. « Cambridge Tracts in Mathematics », Cambridge University Press, 2013
↑(en) Dan Abramovich, « Review: Resolution of singularities by Steven Dale Cutkovsky and Lectures on resolution of singularities by János Kollár », Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 48, no 1, , p. 115-122 (DOI10.1090/s0273-0979-10-01301-7, lire en ligne).