Théorème des zéros de Hilbert

Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

Énoncés

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X₁,…,X_n] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X₁,…,X_n]. Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1 (Lemme de Zariski^[1]). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension finie de K.

Démonstration^[2]

Procédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la K-algèbre A, supposée être un corps. Il faut montrer que ces générateurs sont algébriques sur K. S'il n'y a pas de générateur, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pour toute K-algèbre engendrée par n générateurs qui soit également un corps et donnons-nous une K-algèbre A engendrée par n + 1 éléments ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}}$ qui soit un corps.

• A est engendrée par ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ sur ${\displaystyle K(x_{0})}$, corps des fractions de ${\displaystyle K[x_{0}]}$ inclus dans le corps A. Par hypothèse de récurrence, les ${\displaystyle x_{i},i>0}$, sont annulés par des polynômes unitaires ${\displaystyle P_{i}}$ à coefficients dans ${\displaystyle K(x_{0})}$ et il reste à voir que ${\displaystyle x_{0}}$ est algébrique sur K.
• Notant ${\displaystyle f\in K[x_{0}]}$ le produit de tous les dénominateurs intervenant dans les coefficients des ${\displaystyle P_{i}}$, les ${\displaystyle x_{i}}$ sont entiers sur le localisé ${\displaystyle K[x_{0}]_{f}}$, donc A est entier sur ${\displaystyle K[x_{0}]_{f}}$.
• Si ${\displaystyle x_{0}}$ était transcendant sur K, alors ${\displaystyle K[x_{0}]_{f}}$ serait intégralement clos donc, d'après le point précédent, égal à ${\displaystyle K(x_{0})}$, ce qui est absurde. Finalement, ${\displaystyle x_{0}}$ est bien algébrique sur K.

Ce théorème a plusieurs conséquences immédiates.

On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, c.-à-d. l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Théorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que ${\displaystyle K}$ est algébriquement clos. Alors la fonction

${\displaystyle {\begin{array}{lcll}\phi :&K^{n}&\to &\operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]\\&(a_{1},\dots ,a_{n})&\mapsto &(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})\end{array}}}$

est une bijection, où ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})}$ désigne l'idéal engendré par les ${\displaystyle X_{i}-a_{i}}$.

Autrement dit, un point de ${\displaystyle K^{n}}$ s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à ${\displaystyle n}$ indéterminées sur ${\displaystyle K}$ quand ${\displaystyle K}$ est algébriquement clos.

Démonstration

Soit ${\displaystyle M\in \operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ un idéal maximal. D'après le théorème 1, K[X₁,…,X_n]/M est une extension finie de K ; il est donc égal à K car un corps algébriquement clos n'a que lui-même comme extension finie. Pour tout ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$, on note ${\displaystyle a_{i}\in K}$ la classe de ${\displaystyle X_{i}}$ dans le quotient. Alors ${\displaystyle X_{i}-a_{i}}$ appartient à ${\displaystyle M}$. Donc ${\displaystyle M}$ contient l'idéal ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})}$. Comme celui-ci est maximal, on a l'égalité. L'unicité de ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ résulte du fait que si ${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n})}$ est un autre n-uplet vérifiant la même propriété, alors ${\displaystyle a_{i}-b_{i}=(X_{i}-b_{i})-(X_{i}-a_{i})}$ appartient à ${\displaystyle M}$, et est donc nul car sinon ce serait un scalaire inversible dans ${\displaystyle M}$.

Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre ${\displaystyle I}$ de K[X₁,…,X_n], il existe un point de Kⁿ racine de tout élément de ${\displaystyle I}$.

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X² + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.

Démonstration

Soit ${\displaystyle I}$ un tel idéal. Il est contenu dans un idéal maximal ${\displaystyle M}$. Il suit du théorème 2 que ${\displaystyle M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})}$ et donc ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ est une racine commune des éléments de ${\displaystyle I}$.

Théorème 4. Soit ${\displaystyle I}$ un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical √I de ${\displaystyle I}$ est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant ${\displaystyle I}$.

Démonstration

Quitte à remplacer ${\displaystyle A}$ par ${\displaystyle A/I}$, on peut supposer que ${\displaystyle I=0}$. L'inclusion du nilradical dans l'intersection des maximaux est immédiate. Il reste à montrer l'inclusion inverse. Soit ${\displaystyle f}$ appartenant à l'intersection des maximaux de ${\displaystyle A}$. Si ${\displaystyle f}$ n'est pas nilpotent, on peut considérer la partie multiplicative ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle A}$ constituée des puissances entières strictement positives de ${\displaystyle f}$. La localisation ${\displaystyle A_{f}=S^{-1}A}$ est encore une algèbre de type fini sur K car elle est isomorphe à ${\displaystyle A[T]/(Tf-1)}$. Soient ${\displaystyle M'}$ un idéal maximal de ${\displaystyle A_{f}}$ et ${\displaystyle M}$ son image réciproque dans ${\displaystyle A}$ par l'homomorphisme canonique de localisation ${\displaystyle A\to A_{f}}$. Alors ${\displaystyle A/M\to A_{f}/M'}$ est injectif. Par le théorème 1, ${\displaystyle A_{f}/M'}$ est une extension finie de K, donc entier sur ${\displaystyle A/M}$. C'est alors un exercice facile de voir que ${\displaystyle A/M}$ est un corps, et donc ${\displaystyle M}$ est maximal. Par sa construction, ${\displaystyle M}$ ne contient pas ${\displaystyle f}$ (celui-ci étant inversible dans ${\displaystyle A_{f}}$, ${\displaystyle M'}$ serait égal à l'idéal unité sinon). Ce qui aboutit à une contradiction puisque ${\displaystyle f}$ est supposé appartenir à tous les idéaux maximaux de ${\displaystyle A}$.

Si ${\displaystyle P}$ est un polynôme appartenant à K[X₁,…,X_n], les zéros de ${\displaystyle P}$ dans Kⁿ sont les points ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}}$ tels que ${\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n})=0}$.

Corollaire (Nullstellensatz fort). Supposons K algébriquement clos. Soient ${\displaystyle I}$ un idéal de K[X₁,…,X_n] et ${\displaystyle Z(I)}$ l'ensemble des zéros communs des polynômes de ${\displaystyle I}$. Si ${\displaystyle f}$ est un polynôme dans K[X₁,…,X_n] qui s'annule sur ${\displaystyle Z(I)}$, alors une puissance de ${\displaystyle f}$ appartient à ${\displaystyle I}$.

Démonstration

Pour tout idéal maximal ${\displaystyle M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})}$ contenant ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ est un point de ${\displaystyle Z(I)}$, donc annule ${\displaystyle f}$. Il suit que ${\displaystyle f}$ appartient à ${\displaystyle M}$. Par le théorème 4, ${\displaystyle f}$ appartient au radical de ${\displaystyle I}$, donc une puissance de ${\displaystyle f}$ appartient à ${\displaystyle I}$.

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste :

• Tout idéal maximal ${\displaystyle M}$ de K[X₁,…,X_n] (K non nécessairement clos) est engendré par ${\displaystyle n}$ polynômes.

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de K[X₁,…,X_n] ne peut être engendré par strictement moins que ${\displaystyle n}$ éléments.

Théorème de Bézout

Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :

• Soit K un corps algébriquement clos, soient ${\displaystyle f_{0},\dots ,f_{m}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ des polynômes sans zéros communs. Alors il existe ${\displaystyle g_{0},\dots ,g_{m}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ vérifiant l'identité de Bézout

${\displaystyle f_{0}g_{0}+\dots +f_{m}g_{m}=1.}$

L'astuce de Rabinowitsch (en)^[3] montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans K[X₁,…,X_n], ${\displaystyle I}$ est l'idéal engendré par ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ et ${\displaystyle f}$ est un polynôme qui s'annule sur ${\displaystyle Z(I)}$, on considère l'idéal de K[X₀,X₁,…,X_n] engendré par ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ et par le polynôme ${\displaystyle 1-fX_{0}}$. Cet idéal n'a pas de zéros communs dans Kⁿ⁺¹. Donc il existe ${\displaystyle g_{0},\dots ,g_{m}\in K[X_{0},\dots ,X_{n}]}$ tels que l'on ait

${\displaystyle (1-fX_{0})g_{0}+f_{1}g_{1}+\ldots +f_{m}g_{m}=1.}$

En remplaçant dans cette identité ${\displaystyle X_{0}}$ par ${\displaystyle 1/f}$, et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle f}$, on voit que cette puissance de ${\displaystyle f}$ appartient à ${\displaystyle I}$. De plus, on peut majorer ${\displaystyle N}$ par le maximum des degrés totaux de ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}}$.

Notes et références

1. (en) Oscar Zariski, « A new proof of Hilbert's Nullstellensatz », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 53, n^o 4,‎ 1947, p. 362-368 (lire en ligne), Hⁿ
   ₃, p. 363-364.
2. (en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 (lire en ligne), chap. 5, exercice 18, reproduit cette preuve due à Zariski, et en donne deux autres (corollaire 5.24 et proposition 7.9).
3. (de) J. L. Rabinowitsch, « Zum Hilbertschen Nullstellensatz », Math. Ann., vol. 102,‎ 1929, p. 520 (lire en ligne)

• (en) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, coll. « GTM » (n^o 150), 2004, 797 p. (ISBN 978-0-387-94269-8, lire en ligne)
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], chap. X, § 2
• (en) Christian Peskine, An Algebraic Introduction to Complex Projective Geometry, vol. I : Commutative Algebra, CUP, coll. « Cambridge Studies in Adv. Math. » (n^o 47), 1996, 244 p. (ISBN 978-0-521-48072-7, lire en ligne), chap. 10 (sur un corps de base infini)

Voir aussi

Articles connexes

• Lemme de normalisation de Noether
• Nullstellensatz combinatoire
• Anneau de Goldman
• Lemme d'Artin-Tate

Lien externe

(en) Florian Enescu, « Commutative Algebra — Lecture 13 », sur Georgia State University