Anneau sans diviseur de zéro

En théorie des anneaux, un anneau sans diviseur de zéro (en anglais : domain) est un anneau unitaire dans lequel un produit est nul seulement si l'un des facteurs est nul, autrement dit dans lequel l'implication suivante est vérifiée^[1] :

${\displaystyle ab=0\Rightarrow (a=0\ \mathrm {ou} \ b=0)}$.

En d'autres termes, c'est un anneau dans lequel il n'y a aucun diviseur de zéro (ni à droite, ni à gauche).

Certains auteurs exigent également que la condition 1 ≠ 0 soit remplie^[2] ou, ce qui revient au même, que l'anneau ait au moins deux éléments^[3].

Un anneau commutatif sans diviseur de zéro qui vérifie en outre la condition 1 ≠ 0 est appelé un anneau intègre^[4].

Un anneau sans diviseur de zéro qui est fini est nécessairement un anneau à division et donc un corps commutatif en utilisant le théorème de Wedderburn.

Notes et références

1. (en) César Polcino Milies et Sudarshan K. Sehgal, An Introduction to Group Rings, Kluwer, 2002 (ISBN 978-1-4020-0238-0, lire en ligne), p. 64.
2. (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra, vol. I, Dover, 2009, 2^e éd. (ISBN 978-0-486-47189-1, lire en ligne), p. 90, Section 2.2.
3. (en) Charles Lanski, Concepts in Abstract Algebra, Thomson Learning, 2005 (ISBN 978-0-82187428-8, lire en ligne), p. 343, Définition 10.18.
4. (en) Louis Halle Rowen, Algebra : Groups, Rings, and Fields, A K Peters, 1994, 264 p. (ISBN 978-1-56881-028-7), p. 99.