Першим тренером Мирона був його батько — відомий футболіст Богдан Дмитрович Маркевич. Вихованець групи підготовки львівських «Карпат». У 1970 р. гравця зарахували до основного складу «Карпат» (Львів), але закріпитися у сильному колективі, який щойно виграв Кубок СРСР і з ходу здобув путівку до вищої ліги, 20-річному гравцеві було важко. Маркевич виступав за дубль «Карпат» у 1970—1972 роках, потім за «Спартак» (Орджонікідзе) — у 1974 році та львівські любительські колективи фізкультури. У 1977 р. перейшов до луцького «Торпедо», де вже наступного року був тренером-гравцем, а згодом 27-річний Маркевич повністю зосередився на тренерській роботі — у 1983 році закінчив всесоюзну Вищу школу тренерів у Москві.
21 серпня2010 року заявив про відставку з посади тренера збірної через незгоду з рішенням Федерації футболу України щодо позбавлення «Металіста» 9 очок за начебто договірний матч проти «Карпат»[2].
Утримує дитячу футбольну школу у Винниках.
Також існує дитячо-юнацький футбольний турнір, названий на його честь.
В лютому 2014 року залишив посаду тренера «Металіста» через те, що гравцям вже три місяці не платили зарплату. 26 травня2014 року призначений головним тренером дніпропетровського «Дніпра»[3].
Під його орудою «Дніпро» потрапив до фіналу Ліги Європи 2015, де 27 травня поступився у Варшаві «Севільї» 2:3. 29 червня 2016 року подав у відставку з посади головного тренера «Дніпра»[4][5].
У червні 2023 року Мирон Маркевич знову очолив львівські «Карпати».[6]
Був звільнений з посади головного тренера ФК «Карпати» напередодні початку нового сезону в УПЛ.[7]
2018 року Мирон Маркевич приєднався до скандальної ініціативи Євгенії Кучерук[9] з метою вилучення землі (з подальшою забудовою) у нащадків відомого львівського композитора, диригента, багаторічного директора консерваторії Мечислава Солтиса, яка була придбана Солтисом 1899 року.[10]
Керував збірною у 4 матчах, тричі українці святкували перемогу і один раз зіграли внічию. Перший і єдиний на цей час тренер збірної України, який не зазнав з нею жодної поразки.
