Треуго́льный парке́т (треугольный паркета́ж[1]) или треугольная мозаика — это замощениеплоскости равными правильными треугольниками, расположенными сторона к стороне.
Треугольная мозаика является двойственной шестиугольной мозаике — если соединить центры смежных треугольников, то проведённые отрезки дадут шестиугольную мозаику[1][2]. Символ Шлефли треугольного паркета — {3,6}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся 6 треугольников.
Английский математик Конвей называл мозаику deltille (дельта-мозаикой), поскольку она имеет форму греческой буквы дельта (Δ). Треугольную мозаику можно также назвать кис-шестиугольной мозаикой, если применить операцию kis[англ.], которая добавляет центральную вершину и треугольники, разбивая грани шестиугольной мозаики.
Существует 9 различных однородных раскрасок треугольной мозаики (по цветам 6 треугольников вокруг вершины — 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314). Три из них можно получить их других путём замены цветов — 111212 и 111112 из 121213, комбинируя 1 и 3, в то время как 111213 получается из 121314[3].
Существует один класс архимедовой раскраски[англ.]*, 111112, (помечен *), в котором раскраска не является 1-однородной и содержит перемежающиеся ряды треугольников, в которых каждый третий выкрашен. Приведённая раскраска является 2-однородной и таких имеется бесконечно много, поскольку такие раскраски определяются произвольными сдвигами строк.
Решётка A* 2 (которая также называется A3 2) может быть построена как объединение трёх решёток A2 и эквивалентна решётке A2.
+ + = dual of =
Вершины треугольной мозаики являются центрами наиболее плотной упаковки кругов[5]. Любой круг соприкасается с 6 другими кругами (контактное число). Плотность упаковки равна , это около 90,69 %. Поскольку объединение трёх решёток A2 снова будет решёткой A2, круги можно раскрасить в три цвета.
Треугольные мозаики могут быть идентичны {3,6} топологии правильной мозаики (6 треугольника в каждой вершине). Существует 5 вершинно транзитивных вариантов с одинаковыми гранями (транзитивных по граням[англ.]). С точки зрения симметрии все грани имеют одинаковый цвет, раскраска же на рисунках представляет положение в сетке[6].
Плоские мозаики связаны с многогранниками. Располагая меньше треугольников в каждой вершине, получим незаполненное пространство, что позволяет согнуть в фигуру в пирамиду. Отсюда можно получить правильные многогранники: пять, четыре и три треугольника в вершине дают икосаэдр, октаэдр и тетраэдр соответственно.
Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с правильными многогранниками с символами Шлефли {3,n}.
Если нарисовать плитки исходных граней красным, исходные вершины (получившиеся на их месте многоугольники) жёлтым, а исходные рёбра (получившиеся на их месте многоугольники) синим, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)
Связанные правильные комплексные бесконечноугольники
Существует 4 правильных комплексных апейрогона[англ.], имеющих те же вершины шестиугольной мозаики. Рёбра правильных комплексных апейрогонов могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r имеют ограничение: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин и вершинные фигуры являются r- угольниками [7].
Первый апейрогон состоит из 2-рёбер, следующие два имеют треугольные рёбра, последний имеет перекрывающиеся шестиугольные рёбра.
С.В. Голомб.Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — С. 147. — 207 с.
B. Grünbaum, G.C. Shephard.Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, Chapter 2.9 Archimedean and Uniform colorings // Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman & Co., 1987. — С. 58—65,102—107. — ISBN 0-7167-1193-1.
H. S. M. Coxeter. Regular Complex Polytopes. — 2ed. — New York, Port Chester, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. — ISBN 0-521-39490-2.
Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — ISBN 0-500-34033-1.
Amit Patel.Grid Math: Square, Hexagon, Triangle (неопр.). — Алгоритмы представления шестиугольной и треугольной сеток в компьютерных стратегических играх.
Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты в пространствах размерности 2–10
