Список непериодичных наборов плиток

Нажмите «показать» для описания.
Периодическая мозаика[англ.] с выделенной фундаментальной единицей (треугольник) и примитивной ячейкой (шестиугольник). Замощение всей плоскости может быть получено путём сборки копий треугольных «заплат» вместе. Чтобы это сделать, базовый треугольник следует повернуть, чтобы присоединить к соседнему треугольнику. Другая фигура, нарисованная на замощении, белый шестиугольник, представляет примитивную ячейку мозаики. Копии соответствующей фигуры (с рисунком) могут быть параллельно перенесены для образования бесконечной мозаики на плоскости, при этом нет необходимости вращать выделенный участок, чтобы получить замощение.

В геометрии замощение — это разбиение плоскости (или другой геометрической структуры) на замкнутые множества (называемые плитками) без промежутков и наложений (отличных от границ плиток)[1]. Замощение считается периодическим, если существуют параллельные переносы в двух независимых направлениях, которые переносят плитки в точно такие же. Такое замощение состоит из одной фундаментальной единицы или примитивной ячейки, которые повторяются бесконечно в двух независимых направлениях[2]. Пример такого замощения показан на иллюстрации справа. Замощения, которые нельзя построить из единственной примитивной ячейки, называются непериодичными. Если данный набор плиток позволяет только непериодичное замощение, такой набор называется непериодичным[3].

Первая таблица объясняет сокращения, используемые во второй таблице. Вторая таблица содержит все известные непериодичные наборы плиток и даёт некоторую дополнительную базовую информацию о каждом наборе. Этот список плиток остаётся неполным.

Объяснения

Сокращение Значение Объяснение
E2 Евклидова плоскость обычная плоскость
H2 Гиперболическая
плоскость		 плоскость, где не выполняется аксиома параллельности
E3 Евклидово
трёхмерное
пространство		 пространство, определённое тремя перпендикулярными осями координат
ЛВП Локально взаимно производные говорят, что две плитки локально взаимно производные друг из друга, если одна плитка получается из другой простым локальным правилом (таким как удаление или вставка ребра)

Список

Рисунок Название Число плиток Простран-
ство		 Дата публикации Ссылки Комментарии
Плитки «Трилобит» и «Крест» 2 E2 1999 [4] ЛВП с плитками «Стул» (квадрат с вырезанной четвертинкой)
Плитки Пенроуза P1 6 E2 1974[Note 1] [5] ЛВП с плитками P2 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Плитки Пенроуза P2 2 E2 1977[Note 2] [6] ЛВП с плитками P1 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Плитки Пенроуза P3 2 E2 1978[Note 3] [7] ЛВП с плитками P1 и P2, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Двойные плитки 2 E2 1988 [8]

[9]

Хотя плитки похожи на плитки из P3, плитки не являются ЛВП друг из друга. Мозаика разработана в попытках смоделировать расположение атомов в двойных сплавах
Плитки Робинсона[англ.] 6 E2 1971[Note 4] [10] Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Нет рисунка Плитки Амманна A1 6 E2 1977[11] [12] Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечного иерархического двоичного дерева.
Плитки Амманна A2 2 E2 1986[Note 5] [13]
Плитки Амманна A3 3 E2 1986[Note 5] [13]
Плитки Амманна A4 2 E2 1986[Note 5] [13][14] ЛВП с плитками Амманна A5.
Плитки Амманна A5 2 E2 1982[Note 6] [15]

[16]

ЛВП с плитками Амманна A4.
Нет рисунка Плитки Пенроуза «Шестиугольник, Треугольник» 2 E2 1997[17] [17][18]
Нет рисунка Плитки «Золотой треугольник»[19] 10 E2 2001[20] [21] Дата соответствует времени открытия правил соединения. Двойственные плиткам Амманна A2
Плитки Соколара 3 E2 1989[Note 7] [22][23] ЛВП с плитками «Щит»
Плитки «Щит» 4 E2 1988[Note 8] [24][25] ЛВП с плитками Соколара
Плитки «Квадрат, Треугольник» 5 E2 1986[26] [27]
Мозаика «Сфинкс» 91 E2 [28]
Плитки «Звезда, лодка, шестиугольник» 3 E2 [29][30][31] ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и треугольниками Робинсона
Треугольник Робинсона 4 E2 [12] Плитки ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и «Звезда, лодка, шестиугольник».
Треугольники Данцера 6 E2 1996[32] [33]
Плитки «Вертушка» E2 1994[34][35] [36][37] Дата соответствует публикации правил соединения.
Плитка Соколара — Тейлор 1 E2 2010 [38][39] Несвязная плитка. Непериодичная иерархическая мозаика.
Нет рисунка Плитки Вана 20426 E2 1966 [40]
Нет рисунка Плитки Вана 104 E2 2008 [41]
Нет рисунка Плитки Вана 52 E2 1971[Note 4] [42] Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Плитки Вана 32 E2 1986 [43] локально производные из плиток Пенроуза.
Нет рисунка Плитки Вана 24 E2 1986 [43] локально производные из плиток A2
Плитки Вана 16 E2 1986 [44]

[45]

Производные из плиток A2 и их полос Амманна
Плитки Вана 14 E2 1996 [46][47]
Плитки Вана 13 E2 1996 [48][49]
Нет рисунка Плитка «Десятиугольная губка» 1 E2 2002 [50][51] Пористая плитка, состоящая из непересекающихся множеств точек
Нет рисунка Строго непериодичные плитки Гудмана-Страусса 85 H2 2005 [52]
Нет рисунка Строго непериодичные плитки Гудмана-Страусса 26 H2 2005 [53]
Гиперболическая плитка Бороцки (Böröczky) 1 Hn 1974[54] [55][56] Лишь слабо непериодична
Нет рисунка Плитка Шмитта 1 E3 1988 [57] периодична по винту[англ.]
Плитка Шмитта—Конвея—Данцера 1 E3 [57] периодична по винту[англ.] и выпукла
Плитка Соколара — Тейлор 1 E3 2010 [38][39] Периодична в третьем измерении
Нет рисунка Ромбоэдр Пенроуза 2 E3 1981[58] [59][60][61][62][63][64][65]
Ромбоэдры Макея-Амманна 4 E3 1981 [66] Обладают икосаэдральной симметрией. Это декорированные ромбоэдры Пенроуза с правилами соединения, обеспечивающими непериодичность.
Нет рисунка Кубики Вана 21 E3 1996 [67]
Нет рисунка Кубики Вана 18 E3 1999 [68]
Нет рисунка Тетраэдры Данцера 4 E3 1989[69] [70]
Плитки I и L 2 En
для всех
n ≥ 3		 1999 [71]
«Шляпа» 1 E2 2023 замощение использует плитку вместе с её зеркальным отражением
«Привидение» 1 E2 2023 полное решение задачи одной плитки в плоскости

Примечания

  1. ↑ Grünbaum B., Shephard G. C. Tilings by Regular Polygons // Math. Mag.. — 1977. — Т. 50, вып. 5. — С. 227–247. — doi:10.2307/2689529.(архив WebCite)
  2. ↑ Edwards S., Fundamental Regions and Primitive cells Архивная копия от 5 июля 2010 на Wayback Machine(архив)
  3. ↑ Stan Wagon. Mathematica in action. — 2nd. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1998. — С. 216 (9.1 NonPeriodic Tilings). — ISBN 0-387-98252-3.
  4. ↑ Goodman-Strauss C. A Small Aperiodic Set of Planar Tiles // European Journal of Combinatorics. — 1999. — Т. 20, вып. 5. — С. 375–384. — doi:10.1006/eujc.1998.0281. (доступен препринт Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine)
  5. ↑ Mikhael J. Colloidal Monolayers On Quasiperiodic Laser Fields (см. страницу 23) Архивная копия от 17 июля 2011 на Wayback Machine(архив)
  6. ↑ Gardner M. Penrose tiles to trapdoor ciphers (см. страницу 86) Архивная копия от 17 июня 2011 на Wayback Machine(архив)
  7. ↑ Penrose R. Pentaplexity // Math. Intell.. — 1979/80. — Т. 2. — С. 32–37. — doi:10.1007/bf03024384.(архив WebCite)
  8. ↑ F. Lançon, L. Billard. Two-dimensional system with a quasi-crystalline ground state // J. Phys. France. — 1988. — Т. 49, вып. 2. — С. 249–256. — doi:10.1051/jphys:01988004902024900. (архив WebCite)
  9. ↑ F. Lançon, L. Billard. A simple example of a non-Pisot tiling with five-fold symmetry // J. Phys. I France. — 1992. — Т. 2, вып. 2. — С. 207–220. — doi:10.1051/jp1:1992134.(архив WebCite)
  10. ↑ Goodman-Strauss C. Aperiodic Hierarchical tilings // Proc. of NATO-ASI "Foams, Emulsions, and Cellular Materials" Ser. E. — 1999. — Т. 354. — С. 481–496. — doi:10.1007/978-94-015-9157-7_28.
  11. ↑ Martin Gardner. The Colossal Book of Mathematics. — W. W. Norton & Company, 2001. — С. 76.
  12. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1986, согласно [1] Архивная копия от 30 августа 2006 на Wayback Machine; [2] Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
  13. ↑ 1 2 3 R. Ammann, B. Grünbaum, G. C. Shephard. Aperiodic Tiles // Discrete Comp Geom. — 1992. — Т. 8. — С. 1–25. — doi:10.1007/BF02293033.
  14. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann A4 Архивная копия от 9 апреля 2016 на Wayback Machine
  15. ↑ K. Komatsu, K. Nomakuchi, K. Sakamoto, T. Tokitou. Representation of Ammann-Beenker tilings by an automaton // Nihonkai Math. J.. — 2004. — Т. 15. — С. 109–118. (архив WebCite)
  16. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann-Beenker Архивная копия от 5 октября 2008 на Wayback Machine
  17. ↑ 1 2 R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody R.V.. — Nato Asi Series C. — Dordrecht: Kluwer, 1997. — Т. 489. — С. 467–497. — ISBN 978-0-7923-4506-0. — doi:10.1007/978-94-015-8784-6_18. R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody R.V.. — Springer Verlag GMBH, 2010. — Т. 489. — С. 467–497. — (Nato Asi Series U). — ISBN 9048148324. — doi:10.1007/978-94-015-8784-6_18.
  18. ↑ C. Goodman-Strauss, An aperiodic pair of tiles Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine
  19. ↑ Плитка не соответствует равнобедренному «Золотому треугольнику» и является прямоугольным треугольником с золотым соотношением гипотенузы к катету
  20. ↑ Ludwig Danzer, Gerrit van Ophuysen. A species of planar triangular tilings with inflation factor  // Res. Bull. Panjab Univ. Sci.. — 2001. — Т. 50, вып. 1-4. — С. 137–175.
  21. ↑ G Gelbrich. Fractal Penrose tiles II. Tiles with fractal boundary as duals of Penrose triangles // Aequationes Math.. — 1997. — Т. 54. — С. 108–116. — doi:10.1007/bf02755450.
  22. ↑ F. Gähler, R. Lück, S. I. Ben-Abraham, P. Gummelt. Dodecagonal tilings as maximal cluster coverings. Дата обращения: 25 сентября 2013. Архивировано 27 сентября 2013 года.
  23. ↑ The Socolar tiling. Дата обращения: 6 января 2016. Архивировано 3 марта 2016 года.
  24. ↑ Gähler F., Frettlöh D. Shield Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine
  25. ↑ F. Gähler. Matching rules for quasicrystals: the composition-decomposition method // J. of Non-crystalline Solids. — 1993. — Т. 153&154. — С. 160–164. — doi:10.1016/0022-3093(93)90335-u.(архив WebCite)
  26. ↑ Stampfli, P. A Dodecagonal Quasiperiodic Lattice in Two Dimensions // Helv. Phys. Acta.. — 1986. — Т. 59. — С. 1260–1263.
  27. ↑ Hermisson J., Richard C., Baake M. A Guide to the Symmetry Structure of Quasiperiodic Tiling Classes Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine (архив WebCite)
  28. ↑ Goodman-Strauss C., Aperiodic tilings (см. страницу 74) Архивная копия от 13 марта 2012 на Wayback Machine
  29. ↑ Lord E. A. Quasicrystals and Penrose patterns // Current Science. — 1991. — Т. 61. — С. 315.
  30. ↑ Z. Olamy, M. Kléman. A two dimensional aperiodic dense tiling // J. Phys. France. — 1989. — Т. 50. — С. 19–33. — doi:10.1051/jphys:0198900500101900. (архив WebCite)
  31. ↑ M. Mihalkovič, C. L. Henley, M. Widom. Combined energy-diffraction data refinement of decagonal AlNiCo // J. Non-Cryst. Solids. — 2004. — Т. 334&335. — С. 177–183. (архив WebCite)
  32. ↑ Nischke, K-P and Danzer, L,. A construction of inflation rules based on $n$-fold symmetry // Discrete Comput. Geom.. — 1996. — Т. 15, вып. 2. — С. 221–236. — doi:10.1007/bf02717732. 96j:52035
  33. ↑ Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. Abstract:Notes on vertex atlas of planar Danzer tiling Архивная копия от 29 февраля 2012 на Wayback Machine
  34. ↑ Radin C. The pinwheel tilings of the plane // Annals of Mathematics. Second Series. — 1994. — Т. 139, вып. 3. — С. 661–702. — doi:10.2307/2118575. — JSTOR 2118575.
  35. ↑ Charles Radin. Symmetry Of Tilings Of The Plane // Annals of Mathematics. — 1994. — doi:10.1090/s0273-0979-1993-00425-7.
  36. ↑ C. Radin, M. Wolff. Space tilings and local isomorphism // Geom. Dedicata. — 1992. — Т. 42, вып. 3. — С. 355–360. — doi:10.1007/bf02414073.
  37. ↑ C. Radin. Aperiodic tilings, ergodic theory, and rotations // The mathematics of long-range aperiodic order. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
  38. ↑ 1 2 Socolar J. E. S. and Taylor J. M. An aperiodic hexagonal tile
  39. ↑ 1 2 Socolar J. E. S. and Taylor J. M. Forcing nonperiodicity with a single tile
  40. ↑ Burger R. The Undecidability of the Domino Problem // Memoirs of the American Mathematical Society. — 1966. — Т. 66. — С. 1–72.
  41. ↑ Ollinger Nicolas. Two-by-two Substitution Systems and the Undecidability of the Domino Problem. — Springer, 2008. — С. 476–485. Архивировано 28 сентября 2013 года.
  42. ↑ J. Kari, P. Papasoglu. Deterministic Aperiodic Tile Sets // Geometric and Functional Analysis. — 1999. — Т. 9. — С. 353–369. — doi:10.1007/s000390050090.
  43. ↑ 1 2 Lagae A., Kari J., Dutré P. Aperiodic Sets of Square Tiles with Colored Corners // Report CW. — 2006. — Т. 460. — С. 12. Архивировано 2 октября 2010 года.
  44. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986.
  45. ↑ A. Carbone, M. Gromov, P. Prusinkiewicz. Pattern Formation in Biology, Vision and Dynamics. — Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2000. — ISBN 981-02-3792-8.
  46. ↑ Kari J. A small aperiodic set of Wang tiles". Discrete Mathematics, 160(1-3):259-264
  47. ↑ Lagae A. Tile Based Methods in Computer Graphics Dissertation (см. страницу 149) Архивная копия от 20 июля 2011 на Wayback Machine(архив)
  48. ↑ Culik K., Kari J. On aperiodic sets of Wang tiles (недоступная ссылка)
  49. ↑ K. Culik. An aperiodic set of 13 Wang tiles. Дата обращения: 25 сентября 2013. Архивировано 2 октября 2010 года.
  50. ↑ Zhu F. The Search for a Universal Tile Архивная копия от 14 марта 2012 на Wayback Machine
  51. ↑ D. A. Bailey, F. Zhu. A Sponge-Like (Almost) Universal Tile. Дата обращения: 25 сентября 2013. Архивировано 27 сентября 2013 года.
  52. ↑ Goodman-Strauss C., A hierarchical strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane Архивная копия от 16 июля 2016 на Wayback Machine
  53. ↑ Goodman-Strauss C. A strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane // Invent. Math.. — 2005. — Т. 159. — С. 130–132. — doi:10.1007/s00222-004-0384-1. — Bibcode: 2004InMat.159..119G.
  54. ↑ K. Böröczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I // Mat. Lapok.. — 1974. — Т. 25. — С. 265–306.K. Böröczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II // Mat. Lapok.. — 1974. — Т. 26. — С. 67–90.
  55. ↑ Goodman-Strauss C. A strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane // Invent. Math.. — 2005. — Т. 159. — С. 120. — doi:10.1007/s00222-004-0384-1. — Bibcode: 2004InMat.159..119G.
  56. ↑ Dolbilin N., Frettlöh D. Properties of Böröczky tilings in high dimensional hyperbolic spaces Архивная копия от 3 марта 2012 на Wayback Machine (архив WebCite)
  57. ↑ 1 2 Charles Radin. Aperiodic tilings in higher dimensions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1995. — Т. 123, вып. 11. — С. 3543–3548. — doi:10.2307/2161105. — JSTOR 2161105.
  58. ↑ Маккей Аллан. JI. DE NTVE QUINQUANGULA о пятиугольных снежинках // Кристаллография. — 1981. — Т. 26, вып. 5. — С. 910-919.. (архив WebCite)
  59. ↑ Meisterernst G. Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (Experiments on the growth kinetics of decagonal quasicrystals) Dissertation (см. страницу 18-19) Архивная копия от 17 июня 2011 на Wayback Machine(архив)
  60. ↑ Jirong S. Structure Transition of the Three-Dimensional Penrose Tiling Under Phason Strain Field // Chinese Phys. Lett.. — 1993. — Т. 10, No.8. — С. 449–452. — doi:10.1088/0256-307x/10/8/001. (архив WebCite)
  61. ↑ Inchbald G. A 3-D Quasicrystal Structure Архивная копия от 24 сентября 2015 на Wayback Machine
  62. ↑ Lord E. A., Ranganathan S., Kulkarni U. D. Quasicrystals: tiling versus clustering // Phil. Mag. A. — 2001. — Т. 81. — С. 2645–2651. — doi:10.1080/01418610108216660. (архив WebCite)
  63. ↑ Rudhart C. P. Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (On the numeric simulation of cracking in quasicrystals) Архивная копия от 12 марта 2012 на Wayback Machine см. страницу 11
  64. ↑ Lord E. A., Ranganathan S., Kulkarni U. D. Tilings, coverings, clusters and quasicrystals // Current Science. — 2000. — Т. 78, вып. 1. — С. 64–72. (архив WebCite)
  65. ↑ Katz A. Theory of Matching Rules for the 3-Dimensional Penrose Tilings // Commun. Math. Phys.. — 1988. — Т. 118, вып. 2. — С. 263–288. — doi:10.1007/BF01218580. (архив WebCite)
  66. ↑ Eric A. Lord. Quasicrystals and Penrose patterns // Current Science. — 1991. — Т. 61, вып. 5. — С. 313.
  67. ↑ K. Culik, J. Kari. An aperiodic set of Wang cubes. Дата обращения: 25 сентября 2013. Архивировано 27 сентября 2013 года.
  68. ↑ G. Walther, C. Selter. Mathematikdidaktik als design science. — Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag, 1999. — ISBN 3122000601.
  69. ↑ L. Danzer. Three-Dimensional Analogs of the Planar Penrose Tilings and Quasicrystals // Discrete Mathematics. — 1989. — Т. 76. — С. 1–7. — doi:10.1016/0012-365X(89)90282-3.
  70. ↑ Zerhusen A., Danzer’s three dimensional tiling Архивная копия от 25 июня 2015 на Wayback Machine
  71. ↑ Goodman-Strauss C. An Aperiodic Pair of Tiles in En for all n ≥ 3 // European Journal of Combinatorics. — 1999. — Т. 20, вып. 5. — С. 385–395. — doi:10.1006/eujc.1998.0282. (доступен препринт Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine)

Первые публикации

  1. ↑ Penrose, R. (1974), «The role of Aesthetics in Pure and Applied Mathematical Research», Bull. Inst. Math. and its Appl. 10: 266—271
  2. ↑ Gardner, M. (January 1977), «Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles», Scientific American 236: 110—121
  3. ↑ Penrose, R. (1978), «Pentaplexity», Eureka 39: 16-22
  4. ↑ 1 2 Robinson, R. (1971), «Undecidability and nonperiodicity of tilings in the plane», Inv. Math. 12: 177—209
  5. ↑ 1 2 3 Grünbaum, Shephard, 1986.
  6. ↑ Beenker, F. P. M.(1982), «Algebraic theory of non-periodic tilings of the plane by two simple building blocks: a square and a rhombus», Eindhoven University of Technology, TH Report 82-WSK04
  7. ↑ Socolar, J. E. S. (1989), «Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals», Phys. Rev. A 39: 10519-51
  8. ↑ Gahler, F., «Crystallography of dodecagonal quasicrystals» Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine, published in Janot, C.: Quasicrystalline materials : Proceedings of the I.L.L. / Codest Workshop, Grenoble, 21-25 March 1988. Singapore : World Scientific, 1988, 272—284

Литература

  • B. Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns (англ.). — New York: W.H. Freeman and Company, 1986. — ISBN 0-7167-1193-1.

Ссылки

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!