E (число)
У этого термина существуют и другие значения, см.
E (значения) .
Иррациональные числа ζ (3)ρ √ 2 √ 3 √ 5 ln 2φ,Φ ψ α,δ e e π π
Система счисления Оценка числа
e
{\displaystyle e}
Двоичная 10,101101111110000101010001011001…
Десятичная 2,7182818284590452353602874713527…
Шестнадцатеричная 2,B7E151628AED2A6A…
Шестидесятеричная 2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Рациональные приближения 8 /3 ; 11 /4 ; 19 /7 ; 87 /32 ; 106 /39 ; 193 /71 ; 1264 /465 ; 2721 /1001 ; 23225 /8544
(перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …]
(Эта непрерывная дробь не периодическая . Записана в линейной нотации)
2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274
2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260
5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901
1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680
8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069
5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760
6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416
9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696
7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312
7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825
2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117
3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429
5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509
9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422
8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496
8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418
4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016
7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051
0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354
Первые 1000 знаков после запятой числа e[ 1]
(последовательность
A001113 в
OEIS )
Площадь области под графиком
y
=
1
x
{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
1
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
e
{\displaystyle 1\leq x\leq e}
e
{\displaystyle e}
f (x ) = ex (синяя кривая) в точке x = 0 равна 1 (касательная — красная линия). Для сравнения показаны функция f (x ) = 2x f (x ) = 4x x = 0.
e
{\displaystyle e}
натурального логарифма , математическая константа , иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число
e
{\displaystyle e}
числом Эйлера числом Непера . Обозначается строчной латинской буквой «e ».
Максимум функции
x
1
x
{\textstyle x^{\frac {1}{x}}}
x
=
e
{\displaystyle x=e}
Число
e
{\displaystyle e}
дифференциальном и интегральном исчислении , а также во многих других разделах математики .
Поскольку функция экспоненты
e
x
{\displaystyle e^{x}}
логарифмы именно по основанию
e
{\displaystyle e}
натуральные .
Число
e
{\displaystyle e}
Через предел:
e
=
lim
x
→ → -->
∞ ∞ -->
(
1
+
1
x
)
x
{\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}
замечательный предел ).
e
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
n
n
!
n
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}
формулы Муавра — Стирлинга ).
Как сумма ряда :
e
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
1
n
!
{\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}
1
e
=
∑ ∑ -->
n
=
2
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
n
!
{\displaystyle {\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}}
Как единственное число
a
{\displaystyle a}
∫ ∫ -->
1
a
d
x
x
=
1.
{\displaystyle \int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.}
Как единственное положительное число
a
{\displaystyle a}
d
d
x
a
x
=
a
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.}
∫ ∫ -->
a
x
d
x
=
a
x
+
C
.
{\displaystyle \int a^{x}\,dx=a^{x}+C.}
Как точка пересечения ветвей графика функции
x
y
=
y
x
{\displaystyle x^{y}=y^{x}}
Производная экспоненты равна самой экспоненте:
d
e
x
d
x
=
e
x
.
{\displaystyle {\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}.}
общим решением дифференциального уравнения
d
f
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=f(x)}
f
(
x
)
=
c
e
x
{\displaystyle f(x)=ce^{x}}
c
{\displaystyle c}
Число
e
{\displaystyle e}
иррационально . Доказательство иррациональности является элементарным.
Доказательство иррациональности
Предположим, что
e
{\displaystyle e}
e
=
p
/
q
{\displaystyle e=p/q}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
Следовательно
p
=
e
q
{\displaystyle p=eq}
Умножая обе части уравнения на
(
q
− − -->
1
)
!
{\displaystyle (q-1)!}
p
(
q
− − -->
1
)
!
=
e
q
!
=
q
!
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
1
n
!
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
q
!
n
!
=
∑ ∑ -->
n
=
0
q
q
!
n
!
+
∑ ∑ -->
n
=
q
+
1
∞ ∞ -->
q
!
n
!
{\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}}
Переносим
∑ ∑ -->
n
=
0
q
q
!
n
!
{\displaystyle \sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}}
∑ ∑ -->
n
=
q
+
1
∞ ∞ -->
q
!
n
!
=
p
(
q
− − -->
1
)
!
− − -->
∑ ∑ -->
n
=
0
q
q
!
n
!
{\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}}
Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.
С другой стороны,
∑ ∑ -->
n
=
q
+
1
∞ ∞ -->
q
!
n
!
=
∑ ∑ -->
m
=
1
∞ ∞ -->
q
!
(
q
+
m
)
!
=
∑ ∑ -->
m
=
1
∞ ∞ -->
1
(
q
+
1
)
.
.
.
(
q
+
m
)
<
∑ ∑ -->
m
=
1
∞ ∞ -->
1
(
q
+
1
)
m
{\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}}
Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:
∑ ∑ -->
n
=
q
+
1
∞ ∞ -->
q
!
n
!
<
1
q
{\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}}
Поскольку
q
≥ ≥ -->
1
{\displaystyle q\geq 1}
∑ ∑ -->
n
=
q
+
1
∞ ∞ -->
q
!
n
!
<
1
{\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1}
Получаем противоречие.
Число
e
{\displaystyle e}
трансцендентно . Впервые это было доказано в 1873 году Шарлем Эрмитом [ 2]
e
{\displaystyle e}
теоремы Линдемана .
Предполагается, что
e
{\displaystyle e}
нормальное число , то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
Число
e
{\displaystyle e}
вычислимым (а значит, и арифметическим ) числом.
e
i
x
=
cos
-->
(
x
)
+
i
⋅ ⋅ -->
sin
-->
(
x
)
{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)}
формула Эйлера , в частности
e
i
π π -->
+
1
=
0.
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}
e
=
cos
-->
(
i
)
− − -->
i
sin
-->
(
i
)
=
sinh
-->
(
1
)
+
cosh
-->
(
1
)
{\displaystyle e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)}
Формула, связывающая числа
e
{\displaystyle e}
π π -->
{\displaystyle \pi }
Пуассона или интеграл Гаусса
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
e
− − -->
x
2
d
x
=
π π -->
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}
Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
e
z
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
1
n
!
z
n
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
(
1
+
z
n
)
n
.
{\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}
Другие связи между константами :
π π -->
e
=
2
∏ ∏ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
2
k
+
1
2
k
− − -->
1
)
2
k
− − -->
1
(
k
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
π π -->
⋅ ⋅ -->
e
=
6
∏ ∏ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
2
k
+
3
2
k
+
1
)
2
k
+
1
(
k
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
Формула, найденная Сринивасой Рамануджаном :
1
+
1
1
⋅ ⋅ -->
3
+
1
1
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
+
1
1
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋅ ⋅ -->
7
+
1
1
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋅ ⋅ -->
7
⋅ ⋅ -->
9
+
… … -->
+
1
1
+
1
1
+
2
1
+
3
1
+
4
1
+
5
1
+
… … -->
=
e
⋅ ⋅ -->
π π -->
2
{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}}
Число
e
{\displaystyle e}
цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в[ 3]
e
=
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
1
,
8
,
1
,
1
,
10
,
1
,
… … -->
]
{\displaystyle e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]}
e
=
2
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
1
+
1
4
+
1
1
+
1
1
+
1
6
+
1
1
+
1
1
+
1
8
+
1
1
+
1
1
+
1
10
+
1
1
+
… … -->
{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
или в эквивалентной записи:
e
=
2
+
1
1
+
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
… … -->
{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}}
Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать следующее разложение:
e
+
1
e
− − -->
1
=
2
+
1
6
+
1
10
+
1
14
+
1
… … -->
{\displaystyle {\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ldots }}}}}}}}}
e
=
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
n
n
!
n
.
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}
Представление Каталана :
e
=
2
⋅ ⋅ -->
4
3
⋅ ⋅ -->
6
⋅ ⋅ -->
8
5
⋅ ⋅ -->
7
4
⋅ ⋅ -->
10
⋅ ⋅ -->
12
⋅ ⋅ -->
14
⋅ ⋅ -->
16
9
⋅ ⋅ -->
11
⋅ ⋅ -->
13
⋅ ⋅ -->
15
8
⋅ ⋅ -->
18
⋅ ⋅ -->
20
⋅ ⋅ -->
22
⋅ ⋅ -->
24
⋅ ⋅ -->
26
⋅ ⋅ -->
28
⋅ ⋅ -->
30
⋅ ⋅ -->
32
17
⋅ ⋅ -->
19
⋅ ⋅ -->
21
⋅ ⋅ -->
23
⋅ ⋅ -->
25
⋅ ⋅ -->
27
⋅ ⋅ -->
29
⋅ ⋅ -->
31
16
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots }
произведение :
e
=
3
⋅ ⋅ -->
∏ ∏ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
2
k
+
3
)
k
+
1
2
(
2
k
− − -->
1
)
k
− − -->
1
2
(
2
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(2k+1\right)^{2k}}}}
Представление через числа Белла :
e
=
1
B
n
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
k
n
k
!
{\displaystyle e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}
Мера иррациональности числа
e
{\displaystyle e}
2
{\displaystyle 2}
[ 4]
Данное число раньше иногда называли неперовым в честь шотландского учёного Непера , автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год ). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа
x
{\displaystyle x}
10
7
⋅ ⋅ -->
log
1
/
e
-->
(
x
10
7
)
{\displaystyle 10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)}
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык (с латыни) вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году . Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.
Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред .
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода .
Он обнаружил, что если исходная сумма
$ $ -->
1
{\displaystyle \$1}
100
% % -->
{\displaystyle 100\%}
$ $ -->
2
{\displaystyle \$2}
$ $ -->
1
{\displaystyle \$1}
1
,
5
{\displaystyle 1{,}5}
$ $ -->
1
,
00
⋅ ⋅ -->
1
,
5
2
=
$ $ -->
2
,
25
{\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}5^{2}=\$2{,}25}
$ $ -->
1
,
00
⋅ ⋅ -->
1
,
25
4
=
$ $ -->
2,441
40625
{\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}25^{4}=\$2{,}44140625}
сложного процента имеет предел :
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
e
(
≈ ≈ -->
2,718
28
)
{\displaystyle e~(\approx 2{,}71828)}
$ $ -->
1
,
00
⋅ ⋅ -->
(
1
+
1
12
)
12
=
$ $ -->
2,613
035...
{\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{12}}\right)^{12}=\$2{,}613035...}
$ $ -->
1
,
00
⋅ ⋅ -->
(
1
+
1
365
)
365
=
$ $ -->
2,714
567...
{\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}=\$2{,}714567...}
Таким образом, константа
e
{\displaystyle e}
100
% % -->
{\displaystyle 100\%}
капитализации процентов [ 5]
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой
b
{\displaystyle b}
Лейбница Гюйгенсу , 1690 —1691 годы .
Букву
e
{\displaystyle e}
1727 году , впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года[ 6] [ 7] 1736 год . Соответственно,
e
{\displaystyle e}
числом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву
c
{\displaystyle c}
e
{\displaystyle e}
В языках программирования символу
e
{\displaystyle e}
экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений[ 8]
Мнемоническое правило для числа Эйлера с точностью до 21 знака после запятой: 2 и 7, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов), после них три первых простых числа (2, 3 и 5) и количество градусов в полном обороте (360).
Стихотворная мнемофраза , иллюстрирующая часть этого правила для первых девяти цифр после запятой:
Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой
e
≈ ≈ -->
(
1
+
1
10
6
)
10
6
{\displaystyle e\approx (1+{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}}
В соответствии с теорией непрерывных дробей наилучшими рациональными приближениями числа
e
{\displaystyle e}
подходящие дроби разложения числа
e
{\displaystyle e}
Число 19/7 превосходит число
e
{\displaystyle e}
Число 87/32 превосходит число
e
{\displaystyle e}
Число 193/71 превосходит число
e
{\displaystyle e}
Число 1264/465 превосходит число
e
{\displaystyle e}
Число 2721/1001 превосходит число
e
{\displaystyle e}
Неизвестно, является ли число
e
{\displaystyle e}
кольца периодов .
Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел:
π π -->
+
e
,
π π -->
− − -->
e
,
π π -->
⋅ ⋅ -->
e
,
π π -->
e
,
π π -->
e
,
e
π π -->
2
,
e
e
,
2
e
.
{\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},e^{\pi ^{2}},e^{e},2^{e}.}
рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа
π π -->
{\displaystyle \pi }
e
{\displaystyle e}
алгебраически независимыми [ 9] [ 10] [ 11] [ 12] [ 13] [ 14]
Неизвестно, является ли первое число Скьюза
e
e
e
79
{\displaystyle e^{e^{e^{79}}}}
↑ 2 миллиона цифр после запятой (неопр.) . Дата обращения: 17 апреля 2009. Архивировано 19 января 2011 года.↑ Математическая энциклопедия . — Москва: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 426.↑ William Adkins. A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e (неопр.) . arXiv . arXiv (25 февраля 2006). Дата обращения: 1 марта 2017. Архивировано 2 марта 2017 года.↑ Weisstein, Eric W. Мера иррациональности (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .↑ O'Connor, J J; Robertson, E F The number e (неопр.) . MacTutor History of Mathematics. Дата обращения: 23 октября 2014. Архивировано 11 февраля 2012 года.↑ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P. H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle , vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56—60 ; см. page 58. Архивная копия от 31 января 2017 на Wayback Machine
↑ Remmert, Reinhold [англ.] Theory of Complex Functions (неопр.) . — Springer-Verlag , 1991. — С. 136 . — ISBN 0-387-97195-5 .↑ Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java. — 4-е изд. — СПб. : Питер, 2009. — С. 84. — (Библиотека программиста). — ISBN 978-5-388-00003-3 .↑ Weisstein, Eric W. Иррациональное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .↑ Weisstein, Eric W. Pi (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .↑ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. e (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .↑ Some unsolved problems in number theory (неопр.) . Дата обращения: 8 декабря 2011. Архивировано 19 июля 2010 года.↑ Weisstein, Eric W. Трансцендентное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .↑ An introduction to irrationality and transcendence methods (неопр.) . Дата обращения: 8 декабря 2011. Архивировано 17 мая 2013 года.
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах
Производные латинской буквы «
E, e »
Буквы Буквы c e сверху Символы
![{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310afedad5e855a28eb0d1b232a29031bd682548)
![{\displaystyle e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba2124d6451abad83a8e3e80b6c0dc96b64fb4e)
![{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cd8eb0003d22f6e68f69c95cf434c43bebc58)
![{\displaystyle e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3e6c0e24edbd65373345638bb1bff8b5c355f1)
