Постоянная Каталана

Постоя́нная Катала́на — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\dots }$

Её численное значение приблизительно равно^[1]:

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (последовательность A006752 в OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (фр. Eugène Charles Catalan).

Связь с другими функциями

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

${\displaystyle G=\beta (2).}$

Она также соответствует частному значению функции Клаузена^[англ.], которая связана с мнимой частью дилогарифма

${\displaystyle G=\operatorname {Cl} _{2}(\pi /2)=\operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\right)=\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Li} _{2}(i){\big )}.}$

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,}$

так что

${\displaystyle G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right].}$

Симон Плуфф^[англ.] нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией ${\displaystyle \psi _{1}}$, ${\displaystyle \pi ^{2}}$ и постоянной Каталана G.

Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:

${\displaystyle G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8}})G({\tfrac {7}{8}})}{G({\tfrac {1}{8}})G({\tfrac {5}{8}})}}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{8}})}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2(2-{\sqrt {2}})}}\right).}$

Интегральные представления

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy,}$

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,}$

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.}$

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x):

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.}$

Быстро сходящиеся ряды

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}}$

и

${\displaystyle G=}$	${\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-{}}$
	${\displaystyle {}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right).}$

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы^[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы^[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой^[4][5].

Цепные дроби

Цепная дробь константы Каталана (последовательность A014538 в OEIS) выглядит следующим образом:

${\displaystyle G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=}$

${\displaystyle =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots }}}}}}}}\;}$

Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана:

${\displaystyle 2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2}}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ ^[6]

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов^[7].

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1865	14	Эжен Шарль Каталан
1877	20	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1913	32	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990	&&&&&&&&&&020000.&&&&&020 000	Greg J. Fee
1996	&&&&&&&&&&050000.&&&&&050 000	Greg J. Fee
1996, 14 августа	&&&&&&&&&0100000.&&&&&0100 000	Greg J. Fee и Симон Плуфф^[англ.]
1996, 29 сентября	&&&&&&&&&0300000.&&&&&0300 000	Thomas Papanikolaou
1996	&&&&&&&&01500000.&&&&&01 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	&&&&&&&&03379957.&&&&&03 379 957	Patrick Demichel
1998, 4 января	&&&&&&&012500000.&&&&&012 500 000	Xavier Gourdon
2001	&&&&&&0100000500.&&&&&0100 000 500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	&&&&&&0201000000.&&&&&0201 000 000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006, октябрь	&&&&&05000000000.&&&&&05 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8]
2008, август	&&&&010000000000.&&&&&010 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[9]
2009, 31 января	&&&&015510000000.&&&&&015 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]
2009, 16 апреля	&&&&031026000000.&&&&&031 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]

См. также

• Дзета-функция Римана
• Бета-функция Дирихле

Примечания

1. Catalan's Constant to 1,500,000 Places  (неопр.) (HTML). gutenberg.org. Дата обращения: 5 февраля 2011. Архивировано 24 сентября 2009 года.
2. B. C. Berndt, Ramanujan’s Notebook, Part I, Springer Verlag (1985).
3. D. J. Broadhurst, «Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) Архивная копия от 13 июля 2019 на Wayback Machine», (1998) arXiv math.CA/9803067.
4. E. A. Карацуба. Быстрое вычисление трансцендентных функций // Проблемы передачи информации. — 1991. — Т. 27, № 4. — С. 87—110.
5. E. A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, eds.; pp. 29—41 (2001).
6. Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
7. X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Архивная копия от 15 января 2011 на Wayback Machine
8. Shigeru Kondo’s website Архивировано 11 февраля 2008 года.
9. Constants and Records of Computation  (неопр.). Дата обращения: 6 февраля 2011. Архивировано 15 января 2011 года.
10. Large Computations  (неопр.). Дата обращения: 6 февраля 2011. Архивировано 9 декабря 2009 года.

Ссылки

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan’s constant
• Victor Adamchik. A certain series associated with Catalan's constant (англ.) // Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) : journal. — 2002. — Vol. 21, no. 3. — P. 1—10.
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan Архивная копия от 20 апреля 2009 на Wayback Machine, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi² Архивная копия от 21 апреля 2009 на Wayback Machine, (1999)
• Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula) (1996)
• David M. Bradley. A class of series acceleration formulae for Catalan's constant (англ.) // The Ramanujan Journal^[англ.] : journal. — 1999. — Vol. 3, no. 2. — P. 159—173. — doi:10.1023/A:1006945407723.
• David M. Bradley (2007). "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". arXiv:0706.0356.