Постоянная Гельфонда

Постоянная Гельфонда — трансцендентное число ${\displaystyle e^{\pi }}$ (то есть e в степени π). Названа в честь Александра Осиповича Гельфонда. Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта.

Численное значение

Десятичное представление постоянной Гельфонда:

${\displaystyle e^{\pi }\approx 23{,}140\,692\,632\,779\,269\,005\,729\,086\,367\,948\,547\ldots }$

Его приближённые значения можно получать^[1], используя рекуррентно определённую последовательность

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}},}$ где ${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},}$

а именно следующее выражение:

${\displaystyle e^{\pi }\approx \left({\frac {1}{4}}k_{n}\right)^{-2^{1-n}}.}$

При этом сходимость таких приближений к ${\displaystyle e^{\pi }}$ достаточно быстрая.

Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби^[2]: [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …].

Свойства

• ${\displaystyle (e^{\pi })^{i}=-1}$

• ${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i}}$

• ${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19,9990999791894...}$

• Каждая дополнительная орбита серий отражений фотонной сферы вокруг невращающейся чëрной дыры Шварцшильда определяется множителем ${\displaystyle e^{2\pi }=535.4916555247...}$ (квадрат постоянной Гельфонда)^[3].

Примечания

1. Jonathan M. Borwein, David H. Bailey. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. — Wellesley, MA: AK Peters, 2003. — P. 137. — 350 p. — ISBN 978-1568812113.
2. последовательность A058287 в OEIS
3. Divergent reflections around the photon sphere of a black hole | Scientific Reports  (неопр.). Дата обращения: 23 июля 2021. Архивировано 23 июля 2021 года.

См. также

• Постоянная Гельфонда — Шнайдера ${\displaystyle (2^{\sqrt {2}})}$

Литература

• Weisstein, Eric W. Gelfond’s Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gelfond’s Constant (англ.) на сайте PlanetMath.
• David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Middlesex, England: Penguin Books, 1987. — P. 81. — 229 p. — ISBN 978-0140080292.
• Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein. Pi: A Source Book. — New York: Springer Verlag, 1997. — P. 422. — 716 p. — ISBN 978-0387949246.