Постоянные Фейгенбаума

Основная статья: Теория бифуркаций

Вещественные константы ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — e^π и π

Постоянные Фейгенбаума — универсальные постоянные, характеризующие бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к Динамическому хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыты Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 году.

Каскад бифуркаций для логистического отображения. Над каждой точкой ${\displaystyle a}$ на оси абсцисс отложены точки соответствующего предельного цикла отображения ${\displaystyle x_{n+1}=ax_{n}(1-x_{n})}$. Видно, что при увеличении ${\displaystyle a}$ неподвижная точка сменяется циклом длины 2, он, в свою очередь, циклом длины 4, и так далее. Первая константа Фейгенбаума равна пределу отношения ${\displaystyle L_{i}/L_{i+1}}$, где ${\displaystyle L_{i}}$ — расстояния между точками бифуркаций.

Первая константа Фейгенбаума

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные последовательности ${\displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})}$, где ${\displaystyle a}$ — некоторый параметр. Один из простейшиx примеров функции ${\displaystyle f_{a}(x)}$ — логистическое отображение

${\displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})=ax_{n}(1-x_{n})}$

В зависимости от параметра ${\displaystyle a}$, в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл. При изменении ${\displaystyle a}$ может произойти бифуркация, при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за ${\displaystyle a_{n}}$ значения ${\displaystyle a}$, при которых происходит удвоение периода. Оказывается, что при больших ${\displaystyle n}$ значения ${\displaystyle a_{n}}$ сходятся к фиксированному значению ${\displaystyle a_{\infty }}$. Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций ${\displaystyle f_{a}(x)}$ (универсальность Фейгенбаума). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума^[1]

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4{,}669\;201\;609\;102\;990\;671\;853\;203\;820\;466\;\ldots ,}$

При ${\displaystyle a>a_{\infty }}$ динамика системы становится хаотичной.

Физический смысл первой константы Фейгенбаума — скорость перехода к хаосу систем, испытывающих удвоение периода.

Она характеризует каскад удвоения периода во многих сложных динамических системах, таких, как система Рёсслера, турбулентность, рост популяций и пр.

Вторая константа Фейгенбаума

Вторая константа Фейгенбаума^[2]

${\displaystyle \alpha =2{,}502\;907\;875\;095\;892\;822\;283\;902\;873\;218\;\ldots }$ —

определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций (см. рисунок). Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем.

Свойства констант Фейгенбаума

Предполагается, что обе константы являются трансцендентными, хотя это ещё не доказано.

См. также

• Каскад бифуркаций
• Бифуркационная диаграмма
• Универсальность Фейгенбаума

Ссылки

• Д. И. Трубецков. Турбулентность и детерминированный хаос
• Feigenbaum Constant (англ.)
• Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium] https://www.youtube.com/watch?v=DH1cv0Rdf2w

Примечания

1. последовательность A006890 в OEIS
2. последовательность A006891 в OEIS